ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если в ортоцентрическом тетраэдре точка пересечения высот совпадает с центроидом тетраэдра, то такой тетраэдр является правильным.

Если в ортоцентрическом тетраэдре точка пересечения высот совпадает с центроидом, то высоты и медианы пересекаются в одной точке.

Это возможно только в правильном тетраэдре, так как в нем ортоцентр и центроид совпадают.

Следовательно, такой тетраэдр является правильным.

В ортоцентрическом тетраэдре точка пересечения высот называется ортоцентром. Центроид — это точка пересечения медиан, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами противоположных граней. Если ортоцентр совпадает с центроидом, значит эти две важные точки геометрии тетраэдра совпадают в одной точке.

Высота в тетраэдре — это отрезок, проведённый из вершины перпендикулярно к противоположной грани. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с центром масс противоположной грани. В общем случае, ортоцентр и центроид не совпадают, так как высоты и медианы пересекаются в разных точках. Но если они совпадают, то это означает, что все высоты и медианы проходят через одну и ту же точку.

Такое возможно только в правильном тетраэдре, где все ребра равны и все углы равны. В правильном тетраэдре высоты, медианы и биссектрисы совпадают, и их точка пересечения — одна и та же. Следовательно, если в ортоцентрическом тетраэдре ортоцентр совпадает с центроидом, то этот тетраэдр является правильным.