Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Докажите, что медианы равногранного тетраэдра равны.
Так как тетраэдр равногранный, все его грани равны.
Из этого следует, что все ребра, образующие грани, равны.
Значит, медианы, соединяющие вершины с центрами противоположных граней, равны.
Тетраэдр называется равногранным, если все его грани равны по площади. Это означает, что каждая грань — равносторонний треугольник с одинаковыми сторонами. Пусть тетраэдр имеет вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Тогда все грани \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\), \(BCD\) равны, то есть \(S_{ABC} = S_{ABD} = S_{ACD} = S_{BCD}\).
Так как грани равны, то и ребра, образующие каждую грань, равны между собой. Следовательно, все ребра, исходящие из одной вершины, равны по длине. Например, из вершины \(A\) ребра \(AB\), \(AC\), \(AD\) равны. Это свойство равногранного тетраэдра приводит к тому, что центры масс граней расположены симметрично относительно вершин.
Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с центром масс противоположной грани. Поскольку все грани равны и имеют одинаковую форму, центры масс этих граней находятся на одинаковом расстоянии от вершин. Следовательно, все медианы равны по длине, то есть \(AM_1 = BM_2 = CM_3 = DM_4\), где \(M_i\) — центр масс соответствующей грани.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!