ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что центроид равногранного тетраэдра равноудалён от всех его вершин.

Так как тетраэдр равногранный, все его рёбра равны.

Центроид — точка пересечения медиан, которая равноудалена от всех вершин.

Следовательно, центроид равногранного тетраэдра равноудалён от всех его вершин.

Так как тетраэдр равногранный, это означает, что все его грани — равносторонние треугольники, а значит все рёбра тетраэдра равны по длине. Обозначим длину ребра через \(a\). Тогда расстояния между всеми парами вершин одинаковы, что придаёт фигуре высокую степень симметрии.

Центроид тетраэдра — это точка пересечения медиан, каждая из которых соединяет вершину с центром тяжести противоположной грани. Благодаря равенству рёбер и равностороннему виду граней, центр тяжести каждой грани находится на равном расстоянии от вершин этой грани. Следовательно, медианы тетраэдра равны и пересекаются в одной точке, которая находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх вершин.

Таким образом, центроид равногранного тетраэдра равноудалён от всех его вершин. Это можно записать как равенство расстояний от центроида \(G\) до каждой вершины \(A_i\), то есть \(GA_1 = GA_2 = GA_3 = GA_4\). Такая точка существует именно из-за равенства рёбер и симметрии фигуры, что и доказывает требуемое утверждение.