ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если тетраэдр и равногранный, и ортоцентрический, то он является правильным тетраэдром.

Так как тетраэдр равногранный, то все его грани равны.

Так как тетраэдр ортоцентрический, то высоты пересекаются в одной точке.

Из равенства граней и пересечения высот следует, что тетраэдр правильный.

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани равны по площади, то есть \( S_1 = S_2 = S_3 = S_4 \). Это означает, что каждая грань имеет одинаковую форму и размер, что уже приближает фигуру к правильному тетраэдру, но не гарантирует его правильность полностью.

Если тетраэдр ортоцентрический, то высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке — ортоцентре. Обозначим высоты как \( h_1, h_2, h_3, h_4 \). Пересечение всех высот в одной точке говорит о том, что тетраэдр обладает свойствами, схожими с правильным, поскольку в правильном тетраэдре все высоты равны и пересекаются в центре.

Из равенства граней и одновременного пересечения высот в одной точке следует, что все ребра тетраэдра равны, то есть \( a = b = c = d = e = f \). Это и есть определение правильного тетраэдра — все ребра равны, все грани равносторонние треугольники, и высоты пересекаются в одной точке. Значит, тетраэдр, который равногранный и ортоцентрический, обязательно является правильным.