ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(AB = CD = a\), \(AC = BD = b\), \(BC = AD = c\). Найдите угол и расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\).

В тетраэдре \(DABC\) по условию \(AB = CD = a\), \(AC = BD = b\), \(BC = AD = c\).

Угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) находится по формуле \(\angle(AB, CD) = \arccos \frac{b^2 — c^2}{a^2}\).

Расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) равно \(\rho(AB, CD) = \sqrt{\frac{b^2 + c^2 — a^2}{2}}\).

В тетраэдре \(DABC\) даны равенства сторон: \(AB = CD = a\), \(AC = BD = b\), \(BC = AD = c\). Эти равенства позволяют рассматривать пары противоположных рёбер, чтобы найти угол и расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\). Для нахождения угла между двумя прямыми используется скалярное произведение векторов, направленных вдоль этих прямых. Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) связаны длинами сторон и диагоналями, что позволяет выразить косинус угла через длины \(a\), \(b\), \(c\).

Угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) вычисляется по формуле \( \angle(AB, CD) = \arccos \frac{b^2 — c^2}{a^2} \). Здесь числитель \(b^2 — c^2\) отражает разницу квадратов диагоналей, а знаменатель \(a^2\) — квадрат длины ребра, по которому измеряется угол. Эта формула получается из соотношений, вытекающих из свойств тетраэдра и геометрических преобразований в пространстве, где учитываются взаимные расположения рёбер.

Расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\) определяется формулой \( \rho(AB, CD) = \sqrt{\frac{b^2 + c^2 — a^2}{2}} \). Эта формула выражает минимальное расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве через длины сторон тетраэдра. Подкоренное выражение содержит сумму квадратов диагоналей \(b^2 + c^2\) и вычитание квадрата ребра \(a^2\), делённое на 2, что соответствует среднему значению, отражающему геометрическую взаимосвязь между сторонами и расстоянием между прямыми.