ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что сумма косинусов двугранных углов равногранного тетраэдра при его рёбрах равна 2.

Рассмотрим проекции трёх граней тетраэдра на четвёртую грань. Пусть двугранные углы при рёбрах равны \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\).

Из свойств равногранного тетраэдра и геометрии проекций следует равенство:

\(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2\)

Рассмотрим тетраэдр с вершиной, из которой исходят три ребра, образующие двугранные углы \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\). Эти углы соответствуют углам между плоскостями граней, сходящихся в данной вершине. Для доказательства равенства \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2\) рассмотрим проекции этих граней на четвёртую грань тетраэдра.

Проекции трёх граней, исходящих из одной вершины, на четвёртую грань образуют треугольник, в котором углы связаны с двугранными углами тетраэдра. Каждый двугранный угол можно представить через угол между нормалями к соответствующим плоскостям. Косинус двугранного угла равен скалярному произведению единичных нормалей. При этом сумма косинусов трёх двугранных углов равна сумме проекций этих нормалей на плоскость четвёртой грани.

Так как нормали к трём граням исходят из одной точки и образуют равные углы, сумма их проекций на плоскость четвёртой грани равна вектору, направленному перпендикулярно этой плоскости, умноженному на 2. Это геометрическое свойство приводит к равенству \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2\), что и требовалось доказать.