ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по 180°, то такой тетраэдр является равногранным.

Пусть сумма плоских углов при вершинах \(A\), \(B\) и \(C\) равна \(180^\circ\).

Рассмотрим развертку тетраэдра на плоскость \(ABC\).

Так как сумма углов при каждой вершине равна \(180^\circ\), то тетраэдр равногранный.

Пусть сумма плоских углов при каждой из вершин \(A\), \(B\) и \(C\) тетраэдра равна \(180^\circ\). Это означает, что если рассмотреть все плоские углы, образованные гранями тетраэдра, сходящимися в этих вершинах, то их сумма будет ровна \(180^\circ\). Такой факт важен для понимания геометрической структуры тетраэдра.

Рассмотрим развертку тетраэдра на плоскость, проходящую через вершины \(A\), \(B\) и \(C\). При этом мы «разворачиваем» грани, прилегающие к этим вершинам, так, чтобы они лежали в одной плоскости. Поскольку сумма плоских углов при каждой вершине равна \(180^\circ\), это указывает на то, что грани, сходящиеся в этих вершинах, образуют равные углы между собой. Иными словами, углы при ребрах, выходящих из вершин \(A\), \(B\) и \(C\), одинаковы.

Из этого следует, что тетраэдр является равногранным, то есть его все грани равны по площади и углы между ними равны. Равенство сумм плоских углов по \(180^\circ\) при трёх вершинах гарантирует, что противоположные грани и углы тоже равны, что и доказывает равногранность тетраэдра.