ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(M\) и \(N\) принадлежат соответственно рёбрам \(AB\) и \(AC\) треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\). Точка \(F\) принадлежит отрезку \(BA_1\). Известно, что \(AM : MB = 1 : 2\), \(AN : NC = 4 : 1\), \(BF : FA_1 = 3 : 2\). В каком отношении, считая от вершины \(C\), плоскость \(MNF\) делит отрезок \(CA_1\)?

Рассмотрим тетраэдр \(CA A_1 B\). По условию \(AM : MB = 1 : 2\), \(AN : NC = 4 : 1\), \(BF : FA_1 = 3 : 2\).

Применим теорему Менелая к треугольнику \(CAB\) с точками \(M, N, F\):

\(\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BF}{FA_1} \cdot \frac{A_1C}{CN} = 1\).

Подставляем значения:

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{A_1C}{CN} = 1\).

Отсюда

\(\frac{A_1C}{CN} = \frac{4}{3}\).

Значит плоскость \(MNF\) делит отрезок \(CA_1\) в отношении \(3 : 16\) считая от вершины \(C\).

Рассмотрим тетраэдр с вершинами \(C, A, A_1, B\). В нем даны точки \(M\) на ребре \(AB\), \(N\) на ребре \(AC\) и \(F\) на ребре \(BA_1\) с отношениями \(AM : MB = 1 : 2\), \(AN : NC = 4 : 1\), \(BF : FA_1 = 3 : 2\). Нам нужно найти, в каком отношении плоскость, проходящая через точки \(M, N, F\), делит отрезок \(CA_1\), считая от вершины \(C\).

Для решения применим теорему Менелая к треугольнику \(CAB\) с точками пересечения плоскости. Теорема Менелая утверждает, что произведение отношений деления отрезков на сторонах треугольника, связанных точками \(M, N, F\), равно единице. Запишем это в виде формулы: \(\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BF}{FA_1} \cdot \frac{A_1C}{CN} = 1\). Здесь отношение \(\frac{A_1C}{CN}\) – это неизвестное, которое нам нужно найти.

Подставим известные отношения: \(\frac{AM}{MB} = \frac{1}{2}\), \(\frac{BF}{FA_1} = \frac{3}{2}\), тогда уравнение принимает вид \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{A_1C}{CN} = 1\). Упростим левую часть: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{A_1C}{CN} = 1\), откуда \(\frac{A_1C}{CN} = \frac{4}{3}\). Это означает, что точка пересечения плоскости с отрезком \(CA_1\) делит его в отношении \(3 : 16\) от вершины \(C\).