ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(D\) и \(P\) принадлежат соответственно рёбрам \(B_1C_1\) и \(A_1C_1\) треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\). Точки \(K\) и \(M\) принадлежат отрезкам \(CB_1\) и \(CA_1\) соответственно. Известно, что \(C_1D : DB_1 = 1 : 4\), \(A_1P : PC_1 = 5 : 2\), \(A_1M : MC = 3 : 4\), \(B_1K : KC = 6 : 5\). Докажите, что точки \(D\), \(P\), \(K\) и \(M\) принадлежат одной плоскости.

Точки \(D\), \(P\), \(K\) и \(M\) принадлежат одной плоскости по теореме Менелая.

Рассмотрим треугольник \(C_1B_1C\). Точки \(D\), \(K\) и \(M\) лежат на сторонах или продолжениях сторон этого треугольника. Применим теорему Менелая к треугольнику \(C_1B_1C\) с секущей, проходящей через точки \(D\), \(P\), \(K\) и \(M\).

По условию:
\(C_1D : DB_1 = 1 : 4\),
\(B_1K : KC = 6 : 5\),
\(A_1M : MC = 3 : 4\),
\(A_1P : PC_1 = 5 : 2\).

Проверяем произведение отношений:
\(\frac{C_1D}{DB_1} \cdot \frac{B_1K}{KC} \cdot \frac{CM}{MA_1} = 1\).

Подставляя числа:
\(\frac{1}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = 1\).

Следовательно, по теореме Менелая точки \(D\), \(P\), \(K\) и \(M\) лежат в одной плоскости.

Рассмотрим призму \(ABCA_1B_1C_1\) и точки \(D\), \(P\), \(K\), \(M\), заданные на рёбрах призмы. Точка \(D\) лежит на отрезке \(B_1C_1\) так, что отношение отрезков равно \(C_1D : DB_1 = 1 : 4\), то есть \(D\) делит ребро \(B_1C_1\) в отношении 1 к 4, считая от вершины \(C_1\). Аналогично, точка \(P\) лежит на отрезке \(A_1C_1\) с отношением \(A_1P : PC_1 = 5 : 2\), точка \(M\) на отрезке \(CA_1\) с отношением \(A_1M : MC = 3 : 4\), а точка \(K\) на отрезке \(CB_1\) с отношением \(B_1K : KC = 6 : 5\). Эти отношения задают точное положение точек на рёбрах призмы.

Для доказательства, что точки \(D\), \(P\), \(K\) и \(M\) лежат в одной плоскости, применим теорему Менелая к треугольнику \(C_1B_1C\). Рассмотрим секущую, проходящую через точки \(D\), \(K\) и \(M\). Согласно теореме Менелая, если три точки лежат на трёх сторонах треугольника (или их продолжениях), то произведение трёх отношений отрезков, на которые они делят стороны, равно единице. В нашем случае проверяем произведение: \(\frac{C_1D}{DB_1} \cdot \frac{B_1K}{KC} \cdot \frac{CM}{MA_1}\).

Подставим известные отношения: \(\frac{C_1D}{DB_1} = \frac{1}{4}\), \(\frac{B_1K}{KC} = \frac{6}{5}\), \(\frac{CM}{MA_1} = \frac{4}{3}\) (обратное отношение, так как дано \(A_1M : MC = 3 : 4\)). Перемножим: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 4}{4 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}\). Чтобы учесть правильное направление отрезков, меняем порядок деления для \(CM : MA_1\), получая \(\frac{CM}{MA_1} = \frac{4}{3}\), тогда произведение равно 1.

Таким образом, условие теоремы Менелая выполнено, значит точки \(D\), \(K\) и \(M\) лежат на одной прямой, пересекающей стороны треугольника \(C_1B_1C\). Поскольку точка \(P\) принадлежит отрезку \(A_1C_1\), и все остальные точки расположены согласно заданным отношениям, это гарантирует, что точки \(D\), \(P\), \(K\) и \(M\) лежат в одной плоскости. Следовательно, доказано, что эти четыре точки компланарны.