ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = c\), \(BC = a\), \(AC = b\). В каком отношении, считая от вершины \(C\), центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису \(CD\)?

В треугольнике \(ABC\) \(D\) — точка на стороне \(AB\), такая что \(CD\) — биссектриса угла \(C\). Центр вписанной окружности \(O\) лежит на биссектрисе \(CD\).

Из свойства биссектрисы и центра вписанной окружности следует, что отношение отрезков \(CO\) и \(OD\) равно сумме прилегающих к вершине \(C\) сторон, делённой на сторону \(AB\):

\( \frac{CO}{OD} = \frac{a + b}{c} \),

где \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\).

В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на стороне \(AB\) так, что \(CD\) является биссектрисой угла при вершине \(C\). Это означает, что угол \(ACD\) равен углу \(BCD\). Центр вписанной окружности \(O\) находится внутри треугольника и лежит на биссектрисе \(CD\), так как центр вписанной окружности всегда лежит на биссектрисах углов треугольника.

Чтобы найти отношение отрезков \(CO\) и \(OD\), рассмотрим свойства вписанной окружности и биссектрисы. Известно, что биссектриса делит противоположную сторону \(AB\) в отношении, равном отношению прилегающих сторон, то есть \(AD : DB = AC : BC\). Обозначим стороны так: \(AB = c\), \(BC = a\), \(AC = b\). Тогда длины отрезков на стороне \(AB\) связаны с \(a\), \(b\), \(c\).

Центр вписанной окружности \(O\) делит биссектрису \(CD\) в определённом отношении. Из геометрических свойств вписанной окружности и треугольника следует, что это отношение равно сумме двух сторон, прилегающих к вершине \(C\), делённой на третью сторону. То есть, отношение отрезков \(CO\) и \(OD\) выражается формулой \( \frac{CO}{OD} = \frac{a + b}{c} \). Это значит, что точка \(O\) ближе к вершине \(C\), если сумма сторон \(a\) и \(b\) меньше стороны \(c\), и дальше, если наоборот.