ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высоты тетраэдра \(DABC\), проведённые из вершин \(A\) и \(D\), пересекаются. Докажите, что рёбра \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны.

Высоты из \(A\) и \(D\) пересекаются в точке \(O\). Тогда \(AO \perp BCD\) и \(DO \perp ABC\).

Поскольку \(AO \perp BC\) и \(DO \perp BC\), то \(AO\) и \(DO\) лежат в плоскостях, перпендикулярных \(BC\).

Следовательно, ребро \(AD\), проходящее через точки \(A\) и \(D\), перпендикулярно ребру \(BC\).

Высоты, проведённые из вершин \(A\) и \(D\), пересекаются в точке \(O\). По определению высоты, высота из вершины \(A\) перпендикулярна плоскости \(BCD\), то есть \(AO \perp BCD\). Аналогично, высота из вершины \(D\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), то есть \(DO \perp ABC\). Поскольку обе высоты проходят через одну точку \(O\), это означает, что \(AO\) и \(DO\) лежат в разных плоскостях, но пересекаются.

Плоскость \(BCD\) содержит ребро \(BC\), и так как \(AO \perp BCD\), то \(AO \perp BC\). Аналогично, плоскость \(ABC\) также содержит ребро \(BC\), и так как \(DO \perp ABC\), то \(DO \perp BC\). Следовательно, обе высоты \(AO\) и \(DO\) перпендикулярны ребру \(BC\). Это значит, что линии, соединяющие вершины \(A\) и \(D\), то есть ребро \(AD\), лежат в направлении, перпендикулярном \(BC\).

Таким образом, если высоты из \(A\) и \(D\) пересекаются, то ребро \(AD\) перпендикулярно ребру \(BC\). Это следует из того, что высоты одновременно перпендикулярны к ребру \(BC\), а ребро \(AD\) соединяет точки, из которых проведены эти высоты. Значит, \(AD \perp BC\).