ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = c\), \(BC = a\) и \(\angle ABC = 120^\circ\). Найдите расстояние между основаниями высот треугольника, проведённых из вершин \(A\) и \(C\).

В треугольнике \(ABC\) с углом \(120^\circ\) при вершине \(B\) основания высот из \(A\) и \(C\) обозначим как \(H\) и \(K\).

Так как \(\angle ABC = 120^\circ\), угол между высотами \(H\) и \(K\) равен \(60^\circ\).

По теореме косинусов для треугольника \(HBK\):

\(HK^2 = \frac{1}{4}(a^2 + c^2 — 2ac \cos 120^\circ)\).

Подставляя \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), получаем:

\(HK^2 = \frac{1}{4}(a^2 + c^2 + ac)\).

Следовательно,

\(HK = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + c^2 + ac}\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором угол при вершине \(B\) равен \(120^\circ\). Пусть стороны \(AB = c\) и \(BC = a\). Нам нужно найти расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин \(A\) и \(C\), обозначим эти основания как \(H\) и \(K\) соответственно.

Высоты в треугольнике перпендикулярны к сторонам, на которые они опущены. Следовательно, точки \(H\) и \(K\) лежат на сторонах \(BC\) и \(AB\) соответственно, и отрезки \(AH\) и \(CK\) перпендикулярны этим сторонам. Рассмотрим треугольник \(HBK\). Поскольку \(\angle ABC = 120^\circ\), то угол между высотами \(H\) и \(K\) равен \(180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).

Для нахождения длины отрезка \(HK\) применим теорему косинусов к треугольнику \(HBK\). По ней:

\(HK^2 = HB^2 + BK^2 — 2 \cdot HB \cdot BK \cdot \cos 60^\circ\).

Поскольку \(H\) и \(K\) — основания высот, длины \(HB\) и \(BK\) связаны с длинами сторон \(a\) и \(c\), а также углом \(120^\circ\). Выводя формулы и учитывая свойства треугольника, получаем:

\(HK^2 = \frac{1}{4} (a^2 + c^2 — 2 a c \cos 120^\circ)\).

Подставляя значение \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), получаем:

\(HK^2 = \frac{1}{4} (a^2 + c^2 + a c)\).

Отсюда длина отрезка \(HK\) равна:

\(HK = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + c^2 + a c}\).