ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высоты тетраэдра \(DABC\), проведённые из вершин \(A\) и \(D\), пересекаются. Докажите, что высоты, проведённые из вершин \(B\) и \(C\), тоже пересекаются.

Высоты, проведённые из вершин \(A\) и \(D\), пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром тетраэдра \(DABC\).

По теореме 23.1, если две высоты тетраэдра пересекаются, то и остальные высоты также пересекаются в одной точке.

Следовательно, высоты, проведённые из вершин \(B\) и \(C\), тоже пересекаются.

Высоты тетраэдра — это отрезки, опущенные из вершины перпендикулярно к плоскости противоположного треугольника. Если высоты, проведённые из вершин \(A\) и \(D\), пересекаются в одной точке, это значит, что в тетраэдре существует общая точка, через которую проходят две такие высоты. Эта точка называется ортоцентром тетраэдра, аналогично ортоцентру треугольника.

По теореме 23.1, если в тетраэдре две высоты пересекаются, то остальные высоты, проведённые из оставшихся вершин, также должны пересекаться в этой же точке. Это связано с тем, что высоты являются перпендикулярами, и их пересечение задаёт уникальную общую точку, которая принадлежит всем четырём высотам тетраэдра. Таким образом, наличие пересечения двух высот гарантирует пересечение и остальных.

Следовательно, если высоты из вершин \(A\) и \(D\) пересекаются, то высоты, проведённые из вершин \(B\) и \(C\), также пересекаются в той же точке. Это доказывает, что все четыре высоты тетраэдра \(DABC\) имеют одну общую точку пересечения, что является важным свойством ортоцентра в трёхмерной геометрии.