ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно перпендикулярны.

В силу леммы 1, любые два скрещивающихся ребра перпендикулярны.

По лемме 2, любые две прямые, содержащие высоты, пересекаются.

Следовательно, тетраэдр является ортоцентрическим.

В силу леммы 1, если два ребра тетраэдра скрещиваются, то они перпендикулярны. Это означает, что угол между этими ребрами равен \(90^\circ\). Такая перпендикулярность является ключевым свойством ортоцентрического тетраэдра, так как высоты, проведённые из вершин, образуют прямые, содержащие эти ребра. Таким образом, любые две скрещивающиеся рёбра, являющиеся частью высот, обязательно взаимно перпендикулярны.

Далее, согласно лемме 2, любые две прямые, содержащие высоты тетраэдра, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром тетраэдра. Пересечение высот подтверждает, что высоты не только перпендикулярны соответствующим рёбрам, но и обладают общей точкой пересечения, что характерно для ортоцентрических фигур. Таким образом, каждые две прямые, содержащие высоты, не параллельны и не лежат в одной плоскости, но всё равно пересекаются.

Из этих двух лемм следует, что тетраэдр, у которого любые два скрещивающихся ребра перпендикулярны, а высоты пересекаются в одной точке, является ортоцентрическим. Это свойство отличает ортоцентрический тетраэдр от общего тетраэдра и позволяет утверждать, что в таком тетраэдре выполняется условие взаимной перпендикулярности скрещивающихся рёбер и пересечения высот.