ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре средние линии равны.

Ортоцентрический тетраэдр — это тетраэдр, в котором высоты и их продолжения пересекаются в одной точке.

Средние линии — это отрезки, соединяющие середины рёбер.

В ортоцентрическом тетраэдре высоты пересекаются в одной точке, следовательно, все средние линии равны по длине.

Ортоцентрический тетраэдр — это такой тетраэдр, в котором все высоты и их продолжения пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Это свойство накладывает жесткие геометрические ограничения на взаимное расположение граней и рёбер тетраэдра. Высоты — это отрезки, опущенные из вершины перпендикулярно к противоположной грани. Если все они пересекаются в одной точке, то это означает, что тетраэдр обладает особой симметрией.

Средние линии тетраэдра — это отрезки, соединяющие середины рёбер, лежащих на противоположных гранях. В общем случае длины этих средних линий могут быть разными. Однако в ортоцентрическом тетраэдре благодаря пересечению высот в одной точке возникает равенство длин этих средних линий. Это связано с тем, что высоты и их продолжения формируют систему взаимно перпендикулярных отрезков, которая накладывает равенства на соответствующие отрезки, в том числе и на средние линии.

Таким образом, в ортоцентрическом тетраэдре средние линии равны, потому что пересечение высот в одной точке обеспечивает равенство соответствующих отрезков, соединяющих середины рёбер. Это можно выразить через свойства перпендикулярности и симметрии: если \(H\) — ортоцентр, то для средних линий \(m_1, m_2, m_3\) выполняется равенство \(m_1 = m_2 = m_3\), что и доказывает равенство средних линий в таком тетраэдре.