ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если в тетраэдре средние линии равны, то такой тетраэдр является ортоцентрическим.

Если в тетраэдре равны средние линии \(MN\), \(PQ\), \(RS\), то длины соответствующих векторов равны: \(|\vec{w} — \vec{v} — \mathbf{u}| = |\vec{w} — \mathbf{u} — \vec{v}| = |\vec{v} — \mathbf{u} — \vec{w}|\).

Это возможно только если векторы \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\) удовлетворяют условию \((\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = 0\).

Это условие эквивалентно тому, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то есть тетраэдр ортоцентрический.

Если в тетраэдре \(ABCD\) средние линии \(MN\), \(PQ\), \(RS\), соединяющие середины противоположных рёбер, равны по длине, то это накладывает жесткие ограничения на взаимное расположение векторов, соответствующих рёбрам, исходящим из одной вершины. Обозначим векторы \(\vec{AB} = \mathbf{u}\), \(\vec{AC} = \mathbf{v}\), \(\vec{AD} = \mathbf{w}\). Тогда средние линии выражаются через эти векторы как \(\vec{MN} = \frac{\vec{w} — \vec{v} — \mathbf{u}}{2}\), \(\vec{PQ} = \frac{\vec{w} — \mathbf{u} — \vec{v}}{2}\), \(\vec{RS} = \frac{\vec{v} — \mathbf{u} — \vec{w}}{2}\). Равенство их длин означает, что модули этих векторов совпадают: \(|\vec{w} — \vec{v} — \mathbf{u}| = |\vec{w} — \mathbf{u} — \vec{v}| = |\vec{v} — \mathbf{u} — \vec{w}|\).

Это равенство возможно только при особом соотношении между векторами \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\), которое выражается через условие ортогональности: скалярное произведение вектора \(\vec{AD}\) с векторным произведением \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) равно нулю, то есть \((\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = 0\). Это условие означает, что высота, опущенная из вершины \(D\), перпендикулярна плоскости основания \(ABC\). Аналогично, для других вершин выполняется условие пересечения высот.

Таким образом, равенство средних линий гарантирует, что все три высоты тетраэдра пересекаются в одной точке — ортоцентре. Это и есть определение ортоцентрического тетраэдра. Следовательно, если в тетраэдре равны средние линии, он обязательно является ортоцентрическим.