ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 3.32). Точка \(D\) принадлежит прямой \(AC\), точка \(E\) — ребру \(BC\). Постройте сечение призмы плоскостью \(DEC_1\).

Пусть \(D\) — точка на ребре \(AC\), \(E\) — точка на ребре \(BC\), \(C_1\) — вершина верхнего основания призмы.

Плоскость \(DEC_1\) проходит через точки \(D\), \(E\), \(C_1\).

Для построения сечения найдем пересечения плоскости с рёбрами призмы:

1. Пересечение с ребром \(AB\) обозначим точкой \(F\).
2. Пересечение с ребром \(A_1B_1\) обозначим точкой \(G\).
3. Пересечение с ребром \(BB_1\) обозначим точкой \(H\).
4. Пересечение с ребром \(AA_1\) обозначим точкой \(I\).

Соединив точки \(D\), \(E\), \(C_1\), \(G\), \(I\), \(F\) получаем искомое сечение призмы плоскостью \(DEC_1\).

1. Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) с основанием \(ABC\) и верхним основанием \(A_1B_1C_1\). Точка \(D\) лежит на ребре \(AC\), точка \(E\) — на ребре \(BC\), а \(C_1\) — вершина верхнего основания.

2. Плоскость, проходящая через точки \(D\), \(E\), \(C_1\), задаёт сечение призмы.

3. Найдём уравнение плоскости \(DEC_1\). Пусть координаты точек \(A\), \(B\), \(C\), \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) известны, тогда координаты \(D\) и \(E\) выражаются через параметрические уравнения ребер:
\(D = A + t_1(C — A)\), где \(0 < t_1 < 1\),
\(E = B + t_2(C — B)\), где \(0 < t_2 < 1\).

4. Векторное уравнение плоскости через точки \(D\), \(E\), \(C_1\):
Векторы \(\overrightarrow{DE} = E — D\) и \(\overrightarrow{DC_1} = C_1 — D\).
Нормаль к плоскости \(\vec{n} = \overrightarrow{DE} \times \overrightarrow{DC_1}\).

5. Уравнение плоскости: \(\vec{n} \cdot (X — D) = 0\), где \(X\) — произвольная точка плоскости.

6. Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами призмы. Для каждого ребра \(PQ\) решаем систему уравнений:
Параметрическое уравнение ребра: \(X = P + s(Q — P)\), \(0 \leq s \leq 1\).
Подставляем в уравнение плоскости, находим \(s\). Если \(s \in [0,1]\), точка пересечения лежит на ребре.

7. Проверяем ребра:
— \(AB\),
— \(BC\) (уже есть точка \(E\)),
— \(CA\) (уже есть точка \(D\)),
— \(A_1B_1\),
— \(B_1C_1\),
— \(C_1A_1\),
— \(AA_1\),
— \(BB_1\),
— \(CC_1\).

8. Найденные точки пересечения с рёбрами, кроме \(D\), \(E\), \(C_1\), обозначим как \(F\), \(G\), \(H\), \(I\) и так далее.

9. Соединяем точки \(D\), \(E\), \(C_1\), \(G\), \(I\), \(F\) и другие найденные точки в порядке обхода, чтобы получить многоугольник — искомое сечение.

10. Итог: сечение призмы плоскостью \(DEC_1\) — многоугольник с вершинами в точках \(D\), \(E\), \(C_1\) и точках пересечения плоскости с рёбрами призмы, найденных по описанной процедуре.