ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 3.33). Точка \(D\) принадлежит прямой \(CC_1\), точка \(E\) — ребру \(BC\). Постройте сечение призмы плоскостью \(AED\).

Плоскость \(AED\) проходит через точки \(A\), \(E\) на ребре \(BC\) и \(D\) на ребре \(CC_1\).

На ребре \(AB\) находим точку пересечения с плоскостью, проведя прямую через \(A\) и \(E\).

На ребре \(B_1C_1\) находим точку пересечения с плоскостью, проведя прямую через \(D\) и \(E\).

Соединяем точки \(A\), \(E\), \(D\) и найденные точки пересечения, получая многоугольник сечения призмы плоскостью \(AED\).

1. Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\). Точка \(D\) лежит на ребре \(CC_1\), точка \(E\) — на ребре \(BC\). Требуется построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки \(A\), \(E\), \(D\).

2. Плоскость определяется тремя точками \(A\), \(E\), \(D\), которые не лежат на одной прямой. Точки \(A\), \(E\), \(D\) принадлежат соответственно ребрам \(AA_1\), \(BC\), \(CC_1\).

3. На ребре \(AB\) ищем точку пересечения с плоскостью. Для этого рассматриваем прямую \(AE\), так как обе точки лежат в плоскости. Если прямая \(AE\) пересекает ребро \(AB\), то точка пересечения входит в сечение.

4. Аналогично на ребре \(B_1C_1\) ищем точку пересечения с плоскостью. Рассматриваем прямую, проходящую через точки \(D\) и \(E\), и определяем точку пересечения с ребром \(B_1C_1\), если она существует.

5. На ребре \(A_1B_1\) также проверяем пересечение с плоскостью, используя уравнение плоскости, заданной точками \(A\), \(E\), \(D\).

6. Уравнение плоскости можно получить через векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Пусть \( \vec{n} = \overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{AD} \) — нормальный вектор плоскости.

7. Уравнение плоскости в общем виде: \( n_x (x — x_A) + n_y (y — y_A) + n_z (z — z_A) = 0 \), где \( (x_A, y_A, z_A) \) координаты точки \(A\), а \( (n_x, n_y, n_z) \) компоненты вектора \( \vec{n} \).

8. Подставляя параметрические уравнения ребер \(AB\), \(B_1C_1\), \(A_1B_1\) в уравнение плоскости, находим параметры пересечения и координаты точек пересечения.

9. Собираем все точки: \(A\), \(E\), \(D\), а также найденные точки пересечения плоскости с ребрами \(AB\), \(B_1C_1\), \(A_1B_1\). Эти точки являются вершинами многоугольника сечения.

10. Соединяем найденные точки в порядке их расположения, получая искомое сечение призмы плоскостью, проходящей через \(A\), \(E\), \(D\).