ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) принадлежит грани \(ASB\) тетраэдра \(SABC\), точка \(K\) — грани \(BSC\) (рис. 3.34). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).

Точка \(M\) лежит на грани \(ASB\), точка \(K\) — на грани \(BSC\). Прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(P\).

Так как \(P\) принадлежит плоскости \(ABC\), а \(B\) и \(C\) — вершины этой плоскости, \(P\) лежит на отрезке \(BC\).

Следовательно, точка пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\) — точка \(P\) на отрезке \(BC\).

1. Тетраэдр \(SABC\) задан с вершинами \(S, A, B, C\). Плоскость \(ABC\) образована треугольником с вершинами \(A, B, C\).

2. Точка \(M\) лежит на грани \(ASB\), значит \(M\) принадлежит плоскости, проходящей через точки \(A, S, B\).

3. Точка \(K\) лежит на грани \(BSC\), значит \(K\) принадлежит плоскости, проходящей через точки \(B, S, C\).

4. Рассмотрим прямую \(MK\), проходящую через точки \(M\) и \(K\).

5. Прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в некоторой точке \(P\), поскольку обе точки \(M\) и \(K\) находятся вне плоскости \(ABC\), но на смежных гранях тетраэдра.

6. Для определения точки \(P\) заметим, что плоскость \(ABC\) содержит отрезок \(BC\), а \(P\) лежит на пересечении прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).

7. Из геометрии следует, что точка пересечения \(P\) находится именно на отрезке \(BC\), так как прямая \(MK\) соединяет точки на гранях, прилегающих к ребру \(BC\).

8. Следовательно, координаты точки \(P\) можно выразить в виде параметрического уравнения отрезка \(BC\): \(P = B + t \cdot (C — B)\), где \(0 \leq t \leq 1\).

9. Параметр \(t\) определяется из уравнения прямой \(MK\) и условия принадлежности \(P\) плоскости \(ABC\).

10. Итог: точка пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\) — это точка \(P\), лежащая на отрезке \(BC\).