ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) принадлежит грани \(ASB\) пирамиды \(SABCD\), точка \(K\) — грани \(CSD\) (рис. 3.35). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).

Точка \(M\) лежит на грани \(ASB\), точка \(K\) — на грани \(CSD\). Прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(P\).

Для построения точки \(P\) нужно провести прямую через \(M\) и \(K\) и определить ее пересечение с плоскостью \(ABC\).

Плоскость \(ABC\) задается треугольником с вершинами \(A\), \(B\), \(C\).

Точка пересечения \(P\) находится как точка пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).

Ответ: \(P = MK \cap ABC\).

1. Определим координаты точек \(M\) и \(K\), лежащих на гранях \(ASB\) и \(CSD\) соответственно, через параметры \(t\) и \(s\) на отрезках:
\(M = A + t(S — A) + u(B — A)\), где \(t, u \geq 0\), \(t + u \leq 1\) для грани \(ASB\).
\(K = C + v(S — C) + w(D — C)\), где \(v, w \geq 0\), \(v + w \leq 1\) для грани \(CSD\).

2. Запишем уравнение прямой \(MK\) в параметрическом виде:
\(X(\lambda) = M + \lambda (K — M)\), где \(\lambda \in \mathbb{R}\).

3. Плоскость \(ABC\) задается уравнением:
\((X — A) \cdot n = 0\), где \(n = (B — A) \times (C — A)\) — вектор нормали к плоскости.

4. Подставим параметрическое уравнение прямой \(X(\lambda)\) в уравнение плоскости:
\((M + \lambda (K — M) — A) \cdot n = 0\).

5. Раскроем скобки и выразим \(\lambda\):
\((M — A) \cdot n + \lambda (K — M) \cdot n = 0\),
откуда
\(\lambda = — \frac{(M — A) \cdot n}{(K — M) \cdot n}\), при условии, что \((K — M) \cdot n \neq 0\).

6. Найдем точку пересечения \(P\):
\(P = M + \lambda (K — M)\).

7. Проверим, что точка \(P\) лежит в плоскости \(ABC\) по уравнению плоскости.

8. Если необходимо, проверим, что \(P\) лежит внутри треугольника \(ABC\), используя барицентрические координаты или метод векторного произведения.

9. Таким образом, точка \(P\) — искомое пересечение прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).

10. Итог:
\(P = M — \frac{(M — A) \cdot ((B — A) \times (C — A))}{(K — M) \cdot ((B — A) \times (C — A))} (K — M)\).