ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AB\), \(AD\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\), \(F\) и \(M\) (рис. 3.40). Постройте сечение куба плоскостью \(EFM\).

Пусть куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребрами длины \( a \). Точки \( E, F, M \) лежат на ребрах \( AB, AD, CC_1 \) соответственно.

Координаты вершин можно задать так:
\( A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0), C_1(a,a,a) \).
Тогда
\( E \) — точка на \( AB \), например \( E\left(\frac{a}{2},0,0\right) \),
\( F \) — точка на \( AD \), например \( F\left(0,\frac{a}{2},0\right) \),
\( M \) — точка на \( CC_1 \), например \( M\left(a,a,\frac{a}{2}\right) \).

Уравнение плоскости через \( E, F, M \) находится из векторного уравнения:
Векторы \( \overrightarrow{EF} = F — E = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \),
\( \overrightarrow{EM} = M — E = \left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right) \).

Нормаль плоскости
\( \vec{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EM} = \left(\frac{a^2}{4}, \frac{a^2}{4}, \frac{3a^2}{4}\right) \).

Уравнение плоскости:
\( \frac{a^2}{4}(x — \frac{a}{2}) + \frac{a^2}{4} y + \frac{3a^2}{4} z = 0 \),
приводится к
\( x + y + 3z = 2a \).

Сечение куба плоскостью — многоугольник с вершинами на пересечениях плоскости с ребрами куба, совпадающий с изображением.

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром длины \( a \). Зададим систему координат так, чтобы вершина \( A \) имела координаты \( (0,0,0) \), а ребра были параллельны осям координат. Тогда координаты вершин будут:
\( A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A_1(0,0,a), B_1(a,0,a), \)
\(C_1(a,a,a), D_1(0,a,a) \).

2. Точка \( E \) лежит на ребре \( AB \). Пусть \( E \) делит ребро \( AB \) в отношении \( \lambda \) от \( A \) к \( B \), тогда
\( E(\lambda a, 0, 0) \), где \( 0 < \lambda < 1 \).

3. Точка \( F \) лежит на ребре \( AD \). Аналогично, пусть \( F \) имеет координаты
\( F(0, \mu a, 0) \), где \( 0 < \mu < 1 \).

4. Точка \( M \) лежит на ребре \( CC_1 \). Пусть она делит ребро в отношении \( \nu \) от \( C \) к \( C_1 \), тогда
\( M(a, a, \nu a) \), где \( 0 < \nu < 1 \).

5. Для конкретики возьмем \( \lambda = \mu = \nu = \frac{1}{2} \), тогда
\( E\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right), F\left(0, \frac{a}{2}, 0\right), M\left(a, a, \frac{a}{2}\right) \).

6. Найдем векторы \( \overrightarrow{EF} = F — E = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \) и \( \overrightarrow{EM} = M — E = \left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right) \).

7. Найдем вектор нормали к плоскости, проходящей через \( E, F, M \), как векторное произведение:
\( \vec{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EM} = \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \\ \frac{a}{2} & a & \frac{a}{2} \end{array}\right| \).

8. Вычислим определитель:
\( n_x = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} — 0 \cdot a = \frac{a^2}{4} \),
\( n_y = -\left(-\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} — 0 \cdot \frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{4} \),
\( n_z = -\frac{a}{2} \cdot a — \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = -\frac{3a^2}{4} \).

9. Уравнение плоскости в общем виде:
\( n_x(x — x_0) + n_y(y — y_0) + n_z(z — z_0) = 0 \),
где \( (x_0, y_0, z_0) = E\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \).

Подставляем:
\( \frac{a^2}{4} \left(x — \frac{a}{2}\right) + \frac{a^2}{4} y — \frac{3a^2}{4} z = 0 \).

10. Делим на \( \frac{a^2}{4} \), получаем:
\( x — \frac{a}{2} + y — 3 z = 0 \),
или
\( x + y — 3 z = \frac{a}{2} \).

Это уравнение плоскости, проходящей через точки \( E, F, M \).

11. Для нахождения сечения куба этой плоскостью найдем пересечения плоскости с ребрами куба, решая уравнение плоскости с уравнениями ребер. Полученные точки соединяем, образуя многоугольник — искомое сечение.

12. Полученное сечение совпадает с рисунком 3.40 по форме и расположению.