ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AA_1\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\) и \(F\) (рис. 3.41). Постройте сечение куба плоскостью \(EB_1F\).

Точки \(E\) и \(F\) лежат на рёбрах \(AA_1\) и \(CC_1\) соответственно. Плоскость проходит через точки \(E\), \(B_1\), \(F\).

Проведём прямые \(EB_1\) и \(B_1F\).

Найдём точки пересечения плоскости \(EB_1F\) с рёбрами куба. Плоскость пересекает ребро \(BD\) в точке \(O\).

Сечение куба плоскостью \(EB_1F\) — четырёхугольник \(E B_1 F O\).

Соединяем точки \(E\), \(B_1\), \(F\), \(O\) для построения сечения.

1. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точки \(E\) и \(F\) лежат на рёбрах \(AA_1\) и \(CC_1\) соответственно. Пусть координаты вершин куба заданы так, что \(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(C=(a,a,0)\), \(D=(0,a,0)\), \(A_1=(0,0,a)\), \(B_1=(a,0,a)\), \(C_1=(a,a,a)\), \(D_1=(0,a,a)\).

2. Точка \(E\) лежит на ребре \(AA_1\), значит её координаты можно записать как \(E=(0,0,t a)\), где \(0 < t < 1\). Аналогично точка \(F\) на ребре \(CC_1\) имеет координаты \(F=(a,a,s a)\), где \(0 < s < 1\).

3. Точка \(B_1\) имеет координаты \(B_1=(a,0,a)\).

4. Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки \(E\), \(B_1\), \(F\). Вектор \( \overrightarrow{EB_1} = (a,0,a — t a) = (a,0,a(1 — t)) \), вектор \( \overrightarrow{EF} = (a, a, a(s — t)) \).

5. Вектор нормали к плоскости \( \vec{n} = \overrightarrow{EB_1} \times \overrightarrow{EF} \).

Вычислим векторное произведение:

\(\vec{n}_x = 0 \cdot a(s — t) — a(1 — t) \cdot a = -a^2 (1 — t)\),

\(\vec{n}_y = a(1 — t) \cdot a — a \cdot a(s — t) = a^2 (1 — t — (s — t)) = a^2 (1 — s)\),

\(\vec{n}_z = a \cdot a — 0 \cdot a = a^2\).

Таким образом, \( \vec{n} = (-a^2 (1 — t), a^2 (1 — s), a^2) \).

6. Уравнение плоскости в точке \(E\):

\(-a^2 (1 — t)(x — 0) + a^2 (1 — s)(y — 0) + a^2 (z — t a) = 0\).

Сократим на \(a^2\):

\(- (1 — t) x + (1 — s) y + (z — t a) = 0\).

7. Найдём точку пересечения плоскости с ребром \(BD\). Ребро \(BD\) соединяет точки \(B=(a,0,0)\) и \(D=(0,a,0)\). Параметрически: \(X = a(1 — \lambda), Y = a \lambda, Z=0\), где \(0 \leq \lambda \leq 1\).

Подставим в уравнение плоскости:

\(- (1 — t) a(1 — \lambda) + (1 — s) a \lambda + (0 — t a) = 0\).

Разделим на \(a\):

\(- (1 — t)(1 — \lambda) + (1 — s) \lambda — t = 0\).

Раскроем скобки:

\(- (1 — t) + (1 — t) \lambda + (1 — s) \lambda — t = 0\).

Соберём коэффициенты при \(\lambda\):

\(((1 — t) + (1 — s)) \lambda = (1 — t) + t\).

Упростим правую часть:

\( (1 — t) + t = 1 \).

Сумма коэффициентов при \(\lambda\):

\(2 — t — s\).

Итоговое уравнение:

\((2 — t — s) \lambda = 1\).

Отсюда:

\(\lambda = \frac{1}{2 — t — s}\).

8. Координаты точки пересечения \(O\) на ребре \(BD\):

\(x_O = a (1 — \lambda) = a \left(1 — \frac{1}{2 — t — s}\right) = a \frac{1 — t — s}{2 — t — s}\),

\(y_O = a \lambda = a \frac{1}{2 — t — s}\),

\(z_O = 0\).

9. Сечение куба плоскостью \(EB_1F\) — четырёхугольник с вершинами \(E(0,0,t a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(F(a,a,s a)\), \(O\).

10. Для построения сечения соединяем точки \(E\), \(B_1\), \(F\), \(O\).