ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отмечены соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) (рис. 3.42). Постройте сечение куба плоскостью \(EFK\).

Точки \(E\), \(F\), \(K\) лежат на рёбрах \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) соответственно. Плоскость \(EFK\) пересекает рёбра куба, образуя сечение.

Для построения сечения найдём пересечения плоскости \(EFK\) с рёбрами \(AB\) и \(AD\). Обозначим точку пересечения с ребром \(AD\) как \(P\).

Сечение куба плоскостью \(EFK\) — четырёхугольник \(E-F-K-P\).

1. Обозначим координаты вершин куба: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A_1(0;0;1)\), \(B_1(1;0;1)\), \(C_1(1;1;1)\), \(D_1(0;1;1)\).

2. Точка \(E\) лежит на ребре \(BB_1\), значит \(E(1;0;t)\), где \(0 < t < 1\).

3. Точка \(F\) лежит на ребре \(CC_1\), значит \(F(1;1;s)\), где \(0 < s < 1\).

4. Точка \(K\) лежит на ребре \(DD_1\), значит \(K(0;1;r)\), где \(0 < r < 1\).

5. Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки \(E(1;0;t)\), \(F(1;1;s)\), \(K(0;1;r)\).

Вектор \( \overrightarrow{EF} = (0;1;s — t) \), вектор \( \overrightarrow{EK} = (-1;1;r — t) \).

6. Вектор нормали к плоскости \( \mathbf{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & s — t \\ -1 & 1 & r — t \end{vmatrix} = ( (1)(r — t) — (s — t)(1);\)
\( (s — t)(-1) — 0(r — t);\)
\( 0(1) — (-1)(1) ) = (r — t — s + t; -s + t; 1) = (r — s; t — s; 1) \).

7. Уравнение плоскости: \( (r — s)(x — 1) + (t — s)(y — 0) + 1(z — t) = 0 \), или \( (r — s)(x — 1) + (t — s) y + z — t = 0 \).

8. Найдём пересечения плоскости с рёбрами куба, кроме тех, на которых лежат \(E\), \(F\), \(K\).

Рассмотрим ребро \(AD\): \(x=0\), \(y\) меняется от 0 до 1, \(z=0\).

Подставим в уравнение плоскости: \( (r — s)(0 — 1) + (t — s) y + 0 — t = 0 \Rightarrow -(r — s) + (t — s) y — t = 0 \).

Отсюда \( y = \frac{(r — s) + t}{t — s} \).

Если \(0 \le y \le 1\), то точка пересечения \(P(0; y; 0)\) принадлежит ребру \(AD\).

9. Аналогично проверяем ребро \(AB\): \(y=0\), \(x\) от 0 до 1, \(z=0\).

Подставим: \( (r — s)(x — 1) + (t — s) \cdot 0 + 0 — t = 0 \Rightarrow (r — s)(x — 1) — t = 0 \).

Отсюда \( x = 1 + \frac{t}{r — s} \).

Если \(0 \le x \le 1\), то точка пересечения \(Q(x;0;0)\) принадлежит ребру \(AB\).

10. Сечение куба плоскостью \(EFK\) — многоугольник с вершинами \(E(1;0;t)\), \(F(1;1;s)\), \(K(0;1;r)\) и точками пересечения \(P\) и/или \(Q\), если они лежат на соответствующих рёбрах. Обычно сечение — четырёхугольник \(E-F-K-P\).