ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AB\), \(BD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отмечены соответственно точки \(M\), \(K\) и \(N\) (рис. 3.43). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).

Плоскость \(MNK\) проходит через точки \(M\), \(N\), \(K\) на рёбрах \(AB\), \(CD\), \(BD\) соответственно.

На рёбрах \(AB\), \(BD\), \(CD\) точки \(M\), \(K\), \(N\) фиксированы, значит сечение проходит через эти точки.

Для построения сечения нужно найти пересечения плоскости \(MNK\) с рёбрами \(AC\) и \(BC\).

Обозначим точку пересечения плоскости и ребра \(AC\) как \(P\).

Сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(M P N K\).

1. Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) с точками \(M\), \(K\), \(N\), лежащими на рёбрах \(AB\), \(BD\), \(CD\) соответственно.

2. Точки \(M\), \(K\), \(N\) задают плоскость, обозначим её как плоскость \(MNK\).

3. Для определения сечения тетраэдра плоскостью \(MNK\) необходимо найти пересечения этой плоскости с остальными рёбрами тетраэдра.

4. Известно, что плоскость \(MNK\) уже пересекает рёбра \(AB\), \(BD\), \(CD\) в точках \(M\), \(K\), \(N\).

5. Рассмотрим ребро \(AC\). Найдём точку \(P\) пересечения плоскости \(MNK\) с ребром \(AC\).

6. Пусть координаты вершин тетраэдра заданы, тогда уравнение плоскости \(MNK\) можно найти по трём точкам \(M\), \(N\), \(K\) с помощью векторного произведения нормали.

7. Параметрически выразим ребро \(AC\) и подставим в уравнение плоскости, найдя параметр пересечения, что даст координаты точки \(P\).

8. Аналогично проверяем пересечение плоскости с ребром \(BC\). Если оно отсутствует, то точек пересечения с этим ребром нет.

9. Таким образом, сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — это четырёхугольник с вершинами \(M\), \(P\), \(N\), \(K\).

10. Итог: сечение — четырёхугольник \(M P N K\), где \(P\) — точка пересечения плоскости \(MNK\) с ребром \(AC\).