ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AB\), \(BC\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отмечены соответственно точки \(M\), \(K\) и \(N\) (рис. 3.44). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).

Плоскость \(MNK\) проходит через точки \(M\), \(N\), \(K\) на рёбрах \(AB\), \(CD\), \(BC\) соответственно.

Для построения сечения нужно найти точки пересечения плоскости с рёбрами \(DA\) и \(DB\). Обозначим эти точки как \(P\) и \(Q\).

Точки \(P\) и \(Q\) находятся как пересечения плоскости \(MNK\) с рёбрами \(DA\) и \(DB\).

Сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(M P Q K\).

1. Дано тетраэдр \(DABC\) с точками \(M\), \(K\), \(N\), лежащими на рёбрах \(AB\), \(BC\), \(CD\) соответственно.

2. Плоскость, проходящая через точки \(M\), \(N\), \(K\), однозначно определена, так как три точки не лежат на одной прямой.

3. Найдём уравнение плоскости \(MNK\). Пусть координаты точек \(M\), \(N\), \(K\) известны или выражены через параметры на рёбрах.

4. Вектор \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} — \overrightarrow{M} \), вектор \( \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{M} \).

5. Вектор нормали к плоскости \( \vec{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} \).

6. Уравнение плоскости в векторной форме: \( \vec{n} \cdot (\vec{r} — \vec{M}) = 0 \), где \( \vec{r} \) — произвольная точка плоскости.

7. Найдём точки пересечения плоскости \(MNK\) с рёбрами \(DA\) и \(DB\). Пусть \(P\) — точка на \(DA\), \(Q\) — точка на \(DB\).

8. Координаты точки \(P\) выражаются как \( \vec{P} = \vec{D} + t(\vec{A} — \vec{D}) \), где \(t \in [0,1]\). Подставим в уравнение плоскости и найдём \(t\).

9. Аналогично для точки \(Q\) на ребре \(DB\): \( \vec{Q} = \vec{D} + s(\vec{B} — \vec{D}) \), найдём \(s\) из уравнения плоскости.

10. Сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник с вершинами \(M\), \(N\), \(K\), \(P\), \(Q\), соединёнными последовательно.