ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AC\) и \(BD\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\), а на ребре \(CD\) — точки \(M\) и \(K\) так, что точка \(K\) лежит между точками \(C\) и \(M\) (рис. 3.45). Постройте линию пересечения плоскостей \(ABM\) и \(EFK\).

Линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(EFK\) проходит через точки \(F\) и \(M\).

Точка \(M\) лежит в плоскости \(ABM\), а точка \(F\) — в плоскости \(EFK\).

Прямая, соединяющая \(F\) и \(M\), принадлежит обеим плоскостям и является искомой линией пересечения.

1. Рассмотрим плоскость \(ABM\), которая определяется точками \(A\), \(B\), \(M\). Эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому плоскость однозначно задана.

2. Рассмотрим плоскость \(EFK\), определяемую точками \(E\), \(F\), \(K\). Аналогично, эти точки задают плоскость.

3. Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, которая принадлежит обеим плоскостям одновременно.

4. Чтобы найти эту прямую, нужно определить две точки, лежащие в обеих плоскостях, или одну точку и направление линии пересечения.

5. Точки \(E\) и \(F\) лежат на рёбрах \(AC\) и \(BD\) соответственно, которые принадлежат граням призмы, но не пересекаются с плоскостью \(ABM\) напрямую.

6. Точка \(M\) принадлежит плоскости \(ABM\) и находится на ребре \(AD\), которое также связано с точками \(E\) и \(F\) через призму.

7. Рассмотрим прямую, проходящую через точки \(F\) и \(M\). Точка \(F\) лежит в плоскости \(EFK\), а точка \(M\) — в плоскости \(ABM\).

8. Проверим, лежит ли прямая \(FM\) в обеих плоскостях. Поскольку \(F\) и \(M\) принадлежат соответствующим плоскостям, и прямая соединяет эти точки, она является линией пересечения.

9. Следовательно, линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(EFK\) — это прямая, проходящая через точки \(F\) и \(M\).

10. Итог: линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(EFK\) — прямая \(FM\).