ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AA_1\) и \(AB_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) отмечены точки \(D\) и \(E\) соответственно (рис. 3.47). Постройте сечение призмы плоскостью \(CDE\).

Пусть \(D\) — точка на ребре \(AA_1\), \(E\) — точка на ребре \(AB_1\), \(C\) — вершина призмы. Плоскость проходит через точки \(C\), \(D\), \(E\).

Соединим точки \(C\), \(D\), \(E\). Плоскость пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(F\), которую находим как пересечение плоскости с этим ребром.

Сечение призмы плоскостью \(CDE\) — четырехугольник \(CDEF\), образованный точками \(C\), \(D\), \(E\), \(F\).

1. Рассмотрим призму \(ABCA_1B_1C_1\) с основанием треугольник \(ABC\) и верхним основанием \(A_1B_1C_1\), параллельным нижнему.

2. Точка \(D\) лежит на ребре \(AA_1\), значит координаты \(D\) можно представить как \(D = A + t( A_1 — A )\), где \(0 < t < 1\).

3. Точка \(E\) лежит на ребре \(AB_1\), значит \(E = A + s ( B_1 — A )\), где \(0 < s < 1\).

4. Точка \(C\) — вершина основания призмы.

5. Плоскость, проходящая через точки \(C\), \(D\), \(E\), задаётся уравнением, составленным из векторов \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{CE}\).

6. Найдём уравнение плоскости:

\( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CE} \), где \(\times\) — векторное произведение.

7. Подставим координаты точек \(C\), \(D\), \(E\) для вычисления нормали \(\overrightarrow{n}\).

8. Найдём точки пересечения плоскости с другими рёбрами призмы, например, с ребром \(A_1B_1\). Пусть точка пересечения \(F = A_1 + \lambda ( B_1 — A_1 )\).

9. Подставим координаты \(F\) в уравнение плоскости и найдём \(\lambda\). Если \(0 < \lambda < 1\), точка \(F\) принадлежит ребру \(A_1B_1\).

10. Соединяя точки \(C\), \(D\), \(E\) и \(F\), получаем искомое сечение призмы — четырёхугольник \(CDEF\).