ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Отметьте на его рёбрах три точки так, чтобы сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки, было пятиугольником.

Отметим три точки на рёбрах куба: \(M\) на \(AA_1\), \(R\) на \(AB\), \(P\) на \(CC_1\).

Плоскость, проходящая через эти три точки, пересечёт куб по пяти рёбрам, образуя пятиугольник.

Таким образом, сечение куба плоскостью через точки \(M\), \(R\), \(P\) будет пятиугольником.

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с вершинами и рёбрами, обозначенными на рисунке. Точки \( M \), \( R \), \( Q \), \( P \), \( N \) расположены на рёбрах куба: \( M \) на \( AA_1 \), \( R \) на \( AB \), \( Q \) на \( BC \), \( P \) на \( CC_1 \), \( N \) на \( B_1C_1 \).

2. Для определения сечения плоскостью, проходящей через три точки, выберем точки \( M \), \( R \), \( P \). Эти точки не лежат на одной прямой и принадлежат разным рёбрам куба.

3. Запишем координаты выбранных точек, если считать длину ребра куба равной 1 и расположить куб в декартовой системе координат так, что \( A=(0,0,0) \), \( B=(1,0,0) \), \( C=(1,1,0) \), \( D=(0,1,0) \), \( A_1=(0,0,1) \), \( B_1=(1,0,1) \), \( C_1=(1,1,1) \), \( D_1=(0,1,1) \).

4. Тогда \( M \) лежит на \( AA_1 \), значит \( M=(0,0,m) \), где \( 0 < m < 1 \); \( R \) на \( AB \), значит \( R=(r,0,0) \), где \( 0 < r < 1 \); \( P \) на \( CC_1 \), значит \( P=(1,1,p) \), где \( 0 < p < 1 \).

5. Определим уравнение плоскости, проходящей через точки \( M \), \( R \), \( P \). Векторные направления: \( \overrightarrow{MR} = (r,0,-m) \), \( \overrightarrow{MP} = (1,1,p — m) \).

6. Найдём вектор нормали к плоскости как векторное произведение: \( \vec{n} = \overrightarrow{MR} \times \overrightarrow{MP} = (m, -r(1+p — m), r) \).

7. Уравнение плоскости в общем виде: \( n_x(x — x_0) + n_y(y — y_0) + n_z(z — z_0) = 0 \), где \( (x_0,y_0,z_0) = M \).

8. Подставляя координаты и нормаль, получаем уравнение плоскости: \( m(x — 0) — r(1 + p — m)(y — 0) + r(z — m) = 0 \), или \( m x — r(1 + p — m) y + r z — r m = 0 \).

9. Плоскость пересекает куб по пяти рёбрам, образуя пятиугольник с вершинами в точках \( M \), \( R \), \( Q \), \( P \), \( N \), где \( Q \) и \( N \) находятся как точки пересечения плоскости с рёбрами \( BC \) и \( B_1C_1 \) соответственно.

10. Следовательно, сечение куба плоскостью через точки \( M \), \( R \), \( P \) является пятиугольником.