ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 3.51). На ребре \(AD\) отметили точку \(E\), на грани \(AMB\) — точку \(F\), на грани \(CMD\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(EFK\).

Плоскость \(EFK\) проходит через точки \(E\) на ребре \(AD\), \(F\) на грани \(AMB\) и \(K\) на грани \(CMD\).

На ребре \(AB\) находим точку пересечения с плоскостью \(EFK\), обозначим её \(X\).

На ребре \(BC\) находим точку пересечения с плоскостью \(EFK\), обозначим её \(Y\).

На ребре \(CD\) находим точку пересечения с плоскостью \(EFK\), обозначим её \(Z\).

Сечение пирамиды плоскостью \(EFK\) — четырёхугольник \(E — F — K — Z\).

1. Рассмотрим пирамиду \(MABCD\) с точками \(E\) на ребре \(AD\), \(F\) на грани \(AMB\), \(K\) на грани \(CMD\). Плоскость \(EFK\) определяется этими тремя точками.

2. Найдём уравнение плоскости \(EFK\). Для этого зададим координаты точек \(E, F, K\) в пространстве или выразим в векторной форме. Пусть \( \overrightarrow{EF} \) и \( \overrightarrow{EK} \) — направляющие векторы плоскости.

3. Направляющие векторы: \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{F} — \overrightarrow{E} \), \( \overrightarrow{EK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{E} \).

4. Вектор нормали к плоскости \(EFK\) равен векторному произведению \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EK} \).

5. Уравнение плоскости в общем виде: \( n_x (x — x_E) + n_y (y — y_E) + n_z (z — z_E) = 0 \), где \( (n_x, n_y, n_z) \) — координаты вектора нормали, а \( (x_E, y_E, z_E) \) — координаты точки \(E\).

6. Для построения сечения пирамиды плоскостью \(EFK\) найдём точки пересечения плоскости с рёбрами пирамиды, не содержащими точки \(E, F, K\).

7. Рассмотрим ребро \(AB\). Подставим параметрическое уравнение ребра \( \overrightarrow{R}(t) = \overrightarrow{A} + t(\overrightarrow{B} — \overrightarrow{A}) \) в уравнение плоскости и найдём параметр \(t\). Если \(t \in [0,1]\), то точка пересечения лежит на ребре.

8. Аналогично найдём точки пересечения плоскости с рёбрами \(BC\), \(CD\), \(DM\), \(MB\), \(MC\).

9. Соединяя точки \(E, F, K\) и найденные точки пересечения плоскости с рёбрами пирамиды, получаем многоугольник — искомое сечение.

10. Итог: сечение пирамиды плоскостью \(EFK\) — многоугольник с вершинами в точках \(E, F, K\) и точках пересечения плоскости с рёбрами пирамиды, образующий замкнутую ломаную линию.