ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(BC\), \(CA\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\) отметили точки \(M\), \(N\) и \(P\) соответственно (рис. 3.53). Постройте точку пересечения плоскостей \(BPN\), \(AMP\) и \(MND\).

Точки \(M\), \(N\), \(P\) лежат на рёбрах \(BC\), \(CA\), \(CD\) соответственно.

Плоскости \(BPN\) и \(AMP\) пересекаются по прямой, проходящей через точки \(P\) и \(Q\), где \(Q\) — пересечение отрезков \(BN\) и \(AM\).

Плоскость \(MND\) содержит точки \(M\), \(N\), \(D\).

Точка пересечения трёх плоскостей — это точка \(Q\), где прямая пересечения плоскостей \(BPN\) и \(AMP\) пересекает плоскость \(MND\).

Ответ: точка \(Q\).

1. Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) с точками \(M\), \(N\), \(P\), лежащими на рёбрах \(BC\), \(CA\), \(CD\) соответственно.

2. Плоскость \(BPN\) определяется точками \(B\), \(P\), \(N\).

3. Плоскость \(AMP\) определяется точками \(A\), \(M\), \(P\).

4. Плоскость \(MND\) определяется точками \(M\), \(N\), \(D\).

5. Найдём прямую пересечения плоскостей \(BPN\) и \(AMP\). Эта прямая содержит точку \(P\), так как она лежит в обеих плоскостях.

6. Чтобы найти вторую точку пересечения, рассмотрим прямые \(BN\) и \(AM\), которые лежат в плоскостях \(BPN\) и \(AMP\) соответственно. Точка \(Q\) — пересечение отрезков \(BN\) и \(AM\).

7. Прямая пересечения плоскостей \(BPN\) и \(AMP\) — это прямая, проходящая через точки \(P\) и \(Q\).

8. Теперь найдём точку пересечения этой прямой с плоскостью \(MND\). Так как \(M\) и \(N\) лежат в плоскости \(MND\), а точка \(Q\) принадлежит прямой \(PQ\), проверяем принадлежность \(Q\) плоскости \(MND\).

9. Точка \(Q\) лежит в плоскости \(MND\), так как она является пересечением прямых, образующих эту плоскость.

10. Следовательно, точка пересечения трёх плоскостей \(BPN\), \(AMP\) и \(MND\) — это точка \(Q\).