ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(M\), \(N\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(ADB\), \(BDC\) и \(CDA\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 3.54). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\).

Точки \(M\), \(N\), \(K\) принадлежат граням \(ADB\), \(BDC\), \(CDA\) соответственно.

Проведём прямые пересечения плоскости \(MNK\) с рёбрами тетраэдра: через ребро \(AB\) проведём точку \(P\), через ребро \(BC\) — точку \(Q\).

Сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(MNPQK\), образованный соединением точек \(M\), \(N\), \(K\), \(P\) и \(Q\).

1. Тетраэдр задан вершинами \(D\), \(A\), \(B\), \(C\). Точки \(M\), \(N\), \(K\) лежат соответственно на гранях \(ADB\), \(BDC\), \(CDA\).

2. Определяем координаты или положение точек \(M\), \(N\), \(K\) на соответствующих гранях. Каждая точка однозначно задаёт плоскость, проходящую через них.

3. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки \(M\), \(N\), \(K\). Эта плоскость пересекает ребра тетраэдра, не содержащие эти точки.

4. На ребре \(AB\) найдём точку пересечения \(P\) с плоскостью \(MNK\). Для этого решаем систему уравнений плоскости и параметрического уравнения ребра \(AB\).

5. Аналогично на ребре \(BC\) определяем точку пересечения \(Q\) с плоскостью \(MNK\).

6. Соединяем точки \(M\) и \(N\), \(N\) и \(K\), \(K\) и \(M\) — образуется треугольник внутри граней.

7. Соединяем точки \(P\) и \(K\), а также \(Q\) и \(N\), чтобы замкнуть фигуру.

8. Соединяем точки \(P\) и \(Q\) — линия пересечения плоскости с основанием тетраэдра.

9. Получаем четырёхугольник \(MNPQK\), который является сечением тетраэдра плоскостью, проходящей через \(M\), \(N\), \(K\).

10. Таким образом, сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — это четырёхугольник с вершинами \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(K\).