ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(F\), \(M\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(ASB\), \(ABC\) и \(CSD\) пирамиды \(SABCD\) (рис. 3.55). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(FMK\).

Точки \(F\), \(M\), \(K\) принадлежат граням \(ASB\), \(ABC\) и \(CSD\) соответственно.

Плоскость \(FMK\) пересекает рёбра пирамиды в точках:
— \(X\) на ребре \(SB\) (пересечение плоскости с \(SB\)),
— \(Y\) на ребре \(SD\) (пересечение плоскости с \(SD\)),
— \(Z\) на ребре \(AD\) (пересечение плоскости с \(AD\)).

Сечение пирамиды плоскостью \(FMK\) — многоугольник с вершинами \(F\), \(M\), \(K\), \(X\), \(Y\), \(Z\), соединёнными последовательно.

1. Точки \(F\), \(M\), \(K\) заданы на гранях \(ASB\), \(ABC\), \(CSD\) соответственно. Они определяют плоскость сечения.

2. Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки \(F(x_F,y_F,z_F)\), \(M(x_M,y_M,z_M)\), \(K(x_K,y_K,z_K)\). Для этого составим векторы \(\overrightarrow{FM}\) и \(\overrightarrow{FK}\) и найдём их векторное произведение, которое будет нормалью плоскости:
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{FM} \times \overrightarrow{FK}\).

3. Уравнение плоскости имеет вид \(n_x(x — x_F) + n_y(y — y_F) + n_z(z — z_F) = 0\), где \(\overrightarrow{n} = (n_x,n_y,n_z)\).

4. Определим точки пересечения плоскости с рёбрами пирамиды, не содержащими \(F\), \(M\), \(K\). Рассмотрим ребра \(SB\), \(SD\), \(AD\).

5. Для ребра \(SB\) параметризуем точку как \(S + t(B — S)\). Подставляем в уравнение плоскости, находим параметр \(t_X\), затем координаты точки \(X\).

6. Для ребра \(SD\) аналогично: точка \(S + t(D — S)\), подставляем в уравнение плоскости, находим \(t_Y\), координаты точки \(Y\).

7. Для ребра \(AD\) параметризация \(A + t(D — A)\), подставляем в уравнение плоскости, находим \(t_Z\), координаты точки \(Z\).

8. Проверяем, что найденные параметры \(t_X\), \(t_Y\), \(t_Z\) лежат в интервале \([0,1]\), чтобы точки принадлежали рёбрам.

9. Получаем шесть точек: \(F\), \(M\), \(K\), \(X\), \(Y\), \(Z\), которые являются вершинами сечения.

10. Соединяем точки в порядке обхода, образуя многоугольник сечения плоскостью \(FMK\) пирамиды \(SABCD\).