ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(SB\), \(SC\) и \(SD\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) так, что \(SM : MB = 3 : 2\), \(SN : NC = 1 : 2\) и \(SK : KD = 1 : 3\).

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью \(MNK\).

2) В каком отношении, считая от вершины \(S\), плоскость \(MNK\) делит ребро \(SA\)?

Точки \(M, N, K\) делят рёбра \(SB, SC, SD\) в отношениях \(3:2\), \(1:2\), \(1:3\) соответственно.

Пусть точка \(Q\) — пересечение плоскости \(MNK\) с ребром \(SA\).

Используя теорему о пропорциональном делении отрезка в треугольнике, получаем отношение \(SQ : QA = 3 : 4\).

Ответ: \(SQ : QA = 3 : 4\).

1) Точки \(M, N, K\) делят рёбра \(SB, SC, SD\) в отношениях \(SM : MB = 3 : 2\), \(SN : NC = 1 : 2\), \(SK : KD = 1 : 3\).

2) Координаты точек \(M, N, K\) на рёбрах можно выразить через параметры:
\(M = S + \frac{3}{5}(B — S)\),
\(N = S + \frac{1}{3}(C — S)\),
\(K = S + \frac{1}{4}(D — S)\).

3) Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(SA\) в точке \(Q\), которую найдём из условия коллинеарности векторов, лежащих в плоскости.

4) Обозначим параметр \(t\) так, что \(Q = S + t(A — S)\).

5) Векторы \(\overrightarrow{MQ}, \overrightarrow{NQ}, \overrightarrow{KQ}\) должны лежать в одной плоскости, значит вектор \(\overrightarrow{MQ}\) выражается через \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\).

6) Решая систему уравнений для параметра \(t\), получаем \(t = \frac{3}{7}\).

7) Значит точка \(Q\) делит ребро \(SA\) в отношении \(SQ : QA = 3 : 4\).

Ответ: \(SQ : QA = 3 : 4\).