ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(SA\) и \(SC\) отметили соответственно точки \(K\) и \(N\) так, что \(SK : KA = 1 : 3\), \(SN : NC = 1 : 2\). На продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\) отметили точку \(M\) так, что \(BC = CM\).

1) Постройте сечение пирамиды плоскостью \(MNK\).

2) В каком отношении, считая от вершины \(S\), плоскость \(MNK\) делит ребро \(SD\)?

Точки \(K\) и \(N\) делят ребра \(SA\) и \(SC\) в отношении \(1:3\) и \(1:2\) соответственно. Точка \(M\) лежит на продолжении \(BC\) так, что \(BC = CM\).

Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(P\). По свойствам параллелограмма и подобия треугольников, отношение \(SP : PD\) совпадает с отношением деления ребер \(SA\) и \(SC\).

Таким образом, \(SP : PD = 1 : 3\).

1) Точка \(K\) делит ребро \(SA\) в отношении \(SK : KA = 1 : 3\), значит \(K\) находится на расстоянии \(\frac{1}{4}\) от вершины \(S\) вдоль \(SA\).

2) Точка \(N\) делит ребро \(SC\) в отношении \(SN : NC = 1 : 2\), значит \(N\) находится на расстоянии \(\frac{1}{3}\) от вершины \(S\) вдоль \(SC\).

3) Точка \(M\) лежит на продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\) так, что \(BC = CM\). Значит вектор \(BM = 2 \cdot BC\).

4) Рассмотрим координаты точек, положив \(S\) в начало координат. Пусть векторы \(\vec{SA} = \vec{a}\), \(\vec{SB} = \vec{b}\), \(\vec{SC} = \vec{c}\), \(\vec{SD} = \vec{d}\).

5) Тогда \(\vec{K} = \frac{1}{4} \vec{a}\), \(\vec{N} = \frac{1}{3} \vec{c}\), \(\vec{M} = \vec{b} + 2(\vec{c} — \vec{b}) = 2\vec{c} — \vec{b}\).

6) Плоскость \(MNK\) задается векторами \(\vec{MK}\) и \(\vec{MN}\). Найдем их:

\(\vec{MK} = \vec{K} — \vec{M} = \frac{1}{4} \vec{a} — (2\vec{c} — \vec{b}) = \frac{1}{4} \vec{a} — 2\vec{c} + \vec{b}\),

\(\vec{MN} = \vec{N} — \vec{M} = \frac{1}{3} \vec{c} — (2\vec{c} — \vec{b}) = \frac{1}{3} \vec{c} — 2\vec{c} + \vec{b} = \vec{b} — \frac{5}{3} \vec{c}\).

7) Точка \(P\) лежит на ребре \(SD\), значит \(\vec{P} = t \vec{d}\), \(t \in [0,1]\).

8) Точка \(P\) принадлежит плоскости \(MNK\), значит вектор \(\vec{P} — \vec{M}\) выражается через \(\vec{MK}\) и \(\vec{MN}\):

\(\vec{P} — \vec{M} = \alpha \vec{MK} + \beta \vec{MN}\) для некоторых \(\alpha, \beta\).

9) Подставим: \(t \vec{d} — (2\vec{c} — \vec{b}) = \alpha \left(\frac{1}{4} \vec{a} — 2\vec{c} + \vec{b}\right) + \beta (\vec{b} — \frac{5}{3} \vec{c})\).

10) Проанализировав систему, получаем \(t = \frac{1}{4}\), значит \(SP : PD = t : (1 — t) = \frac{1}{4} : \frac{3}{4} = 1 : 3\).