ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Дано равнобедренная трапеция \(ABCD\) с равными боковыми сторонами \(AB = AD\) и равными основаниями \(BC = CD\).

Обозначим углы при вершинах \(CDB\), \(ADB\) и \(CBD\) как \(x\). Тогда угол при вершине \(A\) равен \(2x\).

Сумма углов \(B\) и \(D\) равна \(180^\circ\), то есть \(2x + 3x = 180^\circ\).

Отсюда \(5x = 180^\circ\), значит \(x = 36^\circ\).

Тогда \(\angle B = \angle C = 108^\circ\), а \(\angle A = \angle D = 72^\circ\).

1. Дана равнобедренная трапеция \(ABCD\) с условиями \(BC = CD\) и \(AB = AD\).

2. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BCD\). В них равны боковые стороны: \(AB = AD\) и \(BC = CD\).

3. Обозначим углы при вершинах \(CDB\), \(ADB\) и \(CBD\) как \(x\).

4. Угол при вершине \(A\) равен удвоенному углу \(x\), то есть \(\angle A = 2x\), так как треугольник \(ABD\) равнобедренный.

5. В трапеции сумма углов при основаниях на одной стороне равна \(180^\circ\), значит \(\angle B + \angle D = 180^\circ\).

6. Угол \(B\) равен \(2x\), а угол \(D\) равен \(3x\), так как \(D\) состоит из углов \(ADB\) и \(CDB\).

7. Запишем уравнение суммы углов: \(2x + 3x = 180^\circ\).

8. Решаем уравнение: \(5x = 180^\circ\), откуда \(x = 36^\circ\).

9. Следовательно, \(\angle B = \angle C = 108^\circ\), так как \(B\) равен \(2x\), а \(C\) равен \(B\) по условию.

10. Углы \(\angle A = \angle D = 72^\circ\), так как \(\angle A = 2x\), а \(\angle D = 3x\).