ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через точку пересечения медиан треугольника \(ABC\) параллельно стороне \(AC\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите отношение площади треугольника \(EBF\) к площади треугольника \(ABC\).

Дано, что \(BB_1\) и \(CC_1\) — медианы треугольника \(ABC\), а \(EF \parallel AC\), где \(E\) на \(AB\), \(F\) на \(BC\).

Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, значит \( \frac{EF}{AC} = \frac{2}{3} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

\( \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{EF}{AC}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором \(BB_1\) и \(CC_1\) — медианы, а точка \(O\) — их пересечение, центр масс треугольника.

2. По свойству центра масс, точка \(O\) делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Значит, \(OB = \frac{1}{3}BB_1\), \(OC = \frac{1}{3}CC_1\).

3. Отрезок \(EF\) проведён параллельно стороне \(AC\), при этом точки \(E\) и \(F\) лежат на сторонах \(AB\) и \(BC\) соответственно.

4. Треугольники \(EBF\) и \(ABC\) подобны по признаку параллельности сторон, так как \(EF \parallel AC\).

5. Коэффициент подобия равен отношению отрезков на сторонах треугольника, то есть \( \frac{EF}{AC} = \frac{EO}{OB} = \frac{FO}{OC} \).

6. Из свойства центра масс следует, что \( \frac{EO}{OB} = \frac{2}{3} \), так как \(O\) делит медиану в отношении \(2:1\).

7. Следовательно, коэффициент подобия треугольников равен \( \frac{2}{3} \).

8. Площадь подобных треугольников связана квадратом коэффициента подобия, то есть \( \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{EF}{AC}\right)^{2} \).

9. Подставляя значение коэффициента подобия, получаем \( \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \).

10. В итоге, отношение площадей равно \( \frac{4}{9} \).