ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На боковых рёбрах \( SA \) и \( SB \) пирамиды \( SABCD \) отметили соответственно точки \( M \) и \( K \). Постройте точку пересечения прямой \( MK \) с плоскостью \( ABC \).

Точки \( M \) и \( K \) лежат на рёбрах \( SA \) и \( SB \) соответственно. Прямая \( MK \) пересекает плоскость \( ABC \) в точке \( P \).

Так как \( P \) лежит в плоскости \( ABC \), а \( M \) и \( K \) — на рёбрах \( SA \) и \( SB \), то точка \( P \) находится на отрезке \( AB \), где прямая \( MK \) пересекает \( AB \).

Ответ: \( P = MK \cap ABC = AB \).

1. Пусть \( M \) — точка на ребре \( SA \), тогда её координаты можно выразить как \( M = S + \lambda (A — S) \), где \( 0 < \lambda < 1 \).

2. Аналогично, точка \( K \) лежит на ребре \( SB \), и её координаты задаются как \( K = S + \mu (B — S) \), где \( 0 < \mu < 1 \).

3. Прямая \( MK \) задаётся уравнением \( X = M + t (K — M) \), где \( t \in \mathbb{R} \).

4. Плоскость \( ABC \) определяется точками \( A, B, C \). Её уравнение можно записать через векторное уравнение: точка \( X \) принадлежит плоскости, если вектор \( X — A \) лежит в плоскости, то есть \( X — A = \alpha (B — A) + \beta (C — A) \), где \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).

5. Для нахождения точки пересечения прямой \( MK \) с плоскостью \( ABC \) подставим уравнение прямой в уравнение плоскости: \( M + t (K — M) = A + \alpha (B — A) + \beta (C — A) \).

6. Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными \( t, \alpha, \beta \).

7. Решая систему, находим значение \( t \), при котором точка \( P = M + t (K — M) \) лежит в плоскости \( ABC \).

8. Из геометрии пирамиды и положения точек \( M \) и \( K \) следует, что точка \( P \) принадлежит стороне \( AB \), то есть при пересечении плоскости \( ABC \) прямая \( MK \) пересекает отрезок \( AB \).

9. Таким образом, \( P \) — точка пересечения прямой \( MK \) с плоскостью \( ABC \), и её координаты лежат на отрезке \( AB \).

10. Итог: точка пересечения \( P \) находится на отрезке \( AB \), где \( P = MK \cap ABC = AB \).