ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 3.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через: 1) точки \(A\), \(C\) и \(B_1\); 2) прямую \(BD\) и точку \(C_1\).

Сечение через точки \(A\), \(C\), \(B_1\) — это плоскость, проходящая через три точки. Проведём отрезки \(A C\), \(C B_1\), \(B_1 A\). Получаем треугольник \(A B_1 C\).

Сечение через прямую \(BD\) и точку \(C_1\) — плоскость, проходящая через \(B\), \(D\), \(C_1\). Плоскость пересекает ребра \(B B_1\) и \(D D_1\) в точках \(B_1\) и \(D_1\). Получаем четырёхугольник \(B D D_1 C_1\).

1) Точки \(A\), \(C\), \(B_1\) принадлежат кубу \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точки \(A\) и \(C\) лежат на нижнем основании, а \(B_1\) — на верхнем основании. Чтобы построить сечение, нужно провести плоскость через три точки.

Проведём отрезок \(A C\) — диагональ нижнего основания. Проведём отрезок \(C B_1\), соединяющий нижнюю и верхнюю вершины. Проведём отрезок \(B_1 A\). Эти три отрезка образуют треугольник \(A B_1 C\), который и является сечением куба плоскостью через точки \(A\), \(C\), \(B_1\).

2) Прямая \(BD\) — диагональ нижнего основания куба. Точка \(C_1\) находится на верхнем основании. Плоскость, проходящая через прямую \(BD\) и точку \(C_1\), определена однозначно.

Рассмотрим ребра куба, которые пересекает эта плоскость. Ребра \(B B_1\) и \(D D_1\) пересекаются с плоскостью в точках \(B_1\) и \(D_1\) соответственно, так как \(B_1\) и \(D_1\) лежат на верхнем основании. Точка \(C_1\) также принадлежит верхнему основанию и плоскости.

Таким образом, сечение куба плоскостью, проходящей через \(BD\) и \(C_1\), образует четырёхугольник с вершинами \(B\), \(D\), \(D_1\), \(C_1\).