Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Конец \( A \) отрезка \( AB \) принадлежит плоскости \( \alpha \). Через точку \( B \) и точку \( C \), принадлежащую отрезку \( AB \), проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \( \alpha \) в точках \( B_1 \) и \( C_1 \) соответственно.
1) Докажите, что точки \( A \), \( B_1 \) и \( C_1 \) лежат на одной прямой.
2) Найдите отрезок \( BB_1 \), если точка \( C \) – середина отрезка \( AB \) и \( CC_1 = 5 \) см.
3) Найдите отрезок \( CC_1 \), если \( AC : BC = 3 : 4 \) и \( BB_1 = 28 \) см.
1) Точки \( A, B_1, C_1 \) лежат на одной прямой, так как \( A \in \alpha \), а \( B_1, C_1 \) — пересечения параллельных прямых через \( B \) и \( C \) с плоскостью \( \alpha \), и \( C \in AB \).
2) Если \( C \) — середина \( AB \), то \( BB_1 = 2 \cdot CC_1 = 2 \times 5 = 10 \) см.
3) При \( AC : BC = 3 : 4 \) и \( BB_1 = 28 \) см, из подобия треугольников:
\( \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} \Rightarrow \frac{3}{7} = \frac{CC_1}{28} \Rightarrow CC_1 = \frac{3 \times 28}{7} = 12 \) см.
1) Точка \( A \) принадлежит плоскости \( \alpha \), значит \( A \in \alpha \). Через точку \( B \) и точку \( C \), которая лежит на отрезке \( AB \), проведены параллельные прямые. Эти прямые пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( B_1 \) и \( C_1 \) соответственно. Так как прямые через \( B \) и \( C \) параллельны, то их пересечения с плоскостью \( \alpha \) — точки \( B_1 \) и \( C_1 \) — лежат на одной прямой с точкой \( A \), потому что \( A, B_1, C_1 \in \alpha \) и \( C \in AB \), то есть проекция точки \( C \) на плоскость совпадает с точкой \( C_1 \), которая лежит на прямой \( AB_1 \). Значит \( A, B_1, C_1 \) коллинеарны.
2) Если \( C \) — середина отрезка \( AB \), то \( AC = CB = \frac{AB}{2} \). Поскольку прямые через \( B \) и \( C \) параллельны и пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( B_1 \) и \( C_1 \), отрезок \( CC_1 \) является средней линией треугольника \( ABB_1 \). По свойству средней линии длина средней линии равна половине основания, то есть \( CC_1 = \frac{1}{2} BB_1 \). Из условия \( CC_1 = 5 \) см, значит \( BB_1 = 2 \times 5 = 10 \) см.
3) Если \( AC : BC = 3 : 4 \), значит \( AC = 3k \), \( BC = 4k \) для некоторого \( k > 0 \). Тогда \( AB = AC + BC = 3k + 4k = 7k \). Из подобия треугольников \( ABB_1 \) и \( ACC_1 \), так как \( CC_1 \parallel BB_1 \), следует пропорция \( \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} \). Подставим известные значения: \( \frac{3k}{7k} = \frac{CC_1}{28} \), откуда \( \frac{3}{7} = \frac{CC_1}{28} \). Умножим обе части на 28: \( CC_1 = \frac{3 \times 28}{7} = 12 \) см.
