Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
На отрезке \( AB \), не пересекающем плоскость \( \alpha \), отмечена точка \( C \) так, что \( AC = 4 \) см, \( BC = 8 \) см. Через точки \( A \), \( B \) и \( C \) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \( \alpha \) в точках \( A_1 \), \( B_1 \) и \( C_1 \) соответственно.
1) Докажите, что точки \( A_1 \), \( B_1 \) и \( C_1 \) лежат на одной прямой.
2) Найдите отрезок \( A_1C_1 \), если \( B_1C_1 = 10 \) см.
1) Точки \( A, C, B \) лежат на одной прямой. Через них проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( A_1, C_1, B_1 \). По свойству параллельных прямых точки \( A_1, C_1, B_1 \) тоже лежат на одной прямой.
2) По теореме Фалеса: \( \frac{AC}{CB} = \frac{A_1 C_1}{C_1 B_1} \).
Подставляем числа: \( \frac{4}{8} = \frac{A_1 C_1}{10} \).
Отсюда: \( A_1 C_1 = \frac{4 \cdot 10}{8} = 5 \) см.
1) На отрезке \( AB \) лежит точка \( C \), такая что \( AC = 4 \) см и \( BC = 8 \) см. Через точки \( A \), \( B \) и \( C \) проведены прямые, параллельные друг другу, которые пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( A_1 \), \( B_1 \) и \( C_1 \) соответственно.
2) Так как прямые через \( A \), \( B \) и \( C \) параллельны, то линии \( A A_1 \), \( B B_1 \) и \( C C_1 \) параллельны. Плоскость \( \alpha \) пересекает эти прямые в точках \( A_1 \), \( B_1 \) и \( C_1 \).
3) По свойству параллельных прямых и плоскостей, точки \( A_1 \), \( B_1 \) и \( C_1 \) лежат на одной прямой, так как они являются пересечением плоскости с тремя параллельными прямыми.
4) Для нахождения длины отрезка \( A_1 C_1 \) используем теорему Фалеса, которая утверждает, что если три параллельные прямые пересекают две секущие, то отрезки на этих секущих пропорциональны.
5) В нашем случае секущими являются отрезок \( AB \) и прямая, содержащая точки \( A_1 \), \( B_1 \), \( C_1 \). Тогда справедливо равенство:
\( \frac{AC}{CB} = \frac{A_1 C_1}{C_1 B_1} \).
6) Подставим известные длины:
\( \frac{4}{8} = \frac{A_1 C_1}{10} \).
7) Решим уравнение относительно \( A_1 C_1 \):
\( A_1 C_1 = \frac{4 \cdot 10}{8} \).
8) Выполним вычисления:
\( A_1 C_1 = \frac{40}{8} = 5 \) см.
9) Таким образом, точки \( A_1 \), \( B_1 \) и \( C_1 \) лежат на одной прямой, и длина отрезка \( A_1 C_1 \) равна 5 см.
10) Итог: \( A_1 C_1 = 5 \) см.
