ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямые \( a \), \( b \) и \( c \) пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( A \), \( B \) и \( C \), не лежащих на одной прямой (рис. 4.18). Прямая \( b \) пересекает прямую \( a \) в точке \( D \), а прямая \( c \) – в точке \( E \). Докажите, что прямые \( b \) и \( c \) скрещивающиеся.

Дано: \(a, b, c\) и плоскость \(\alpha\), где \(a \cap \alpha = A\), \(b \cap \alpha = B\), \(c \cap \alpha = C\), точки \(A, B, C\) не лежат на одной прямой. \(b \cap a = D\), \(c \cap a = E\).

Докажем, что \(b\) и \(c\) скрещиваются.

Так как \(A, B, C\) лежат в плоскости \(\alpha\) и не на одной прямой, значит \(A, B, C\) — три точки плоскости.

Прямые \(b\) и \(c\) пересекают \(a\) в разных точках \(D \neq E\), значит \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости с \(a\).

Следовательно, \(b\) и \(c\) не пересекаются и не параллельны, то есть они скрещиваются.

1. Даны три прямые \(a\), \(b\) и \(c\), которые пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно. Точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой. Значит, эти три точки определяют плоскость \(\alpha\).

2. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\), а прямые \(b\) и \(c\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(B\) и \(C\) соответственно.

3. По условию, прямая \(b\) пересекает прямую \(a\) в точке \(D\), а прямая \(c\) пересекает прямую \(a\) в точке \(E\). При этом точки \(D\) и \(E\) — разные, то есть \(D \neq E\).

4. Рассмотрим, лежат ли прямые \(b\) и \(c\) в одной плоскости. Если бы они лежали в одной плоскости, то эта плоскость должна содержать прямую \(a\) (так как \(b\) и \(c\) пересекают \(a\)).

5. Но точки пересечения \(D\) и \(E\) лежат на прямой \(a\), а точки \(B\) и \(C\) лежат на плоскости \(\alpha\), которая не совпадает с плоскостью, содержащей \(a\), так как \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой.

6. Следовательно, прямые \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости с прямой \(a\).

7. Прямые \(b\) и \(c\) не параллельны, так как они пересекают прямую \(a\) в разных точках.

8. Прямые \(b\) и \(c\) не пересекаются, так как если бы они пересеклись, то их точка пересечения лежала бы в обеих плоскостях, что невозможно.

9. Значит, прямые \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

10. Таким образом, прямые \(b\) и \(c\) являются скрещивающимися.