ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Для прямых на плоскости верно утверждение: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую». Верно ли это утверждение для прямых в пространстве?

Утверждение верно для плоскости, потому что две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Если прямая пересекает одну из них, то она обязательно пересечёт и другую.

В пространстве две параллельные прямые могут быть скрещивающимися, то есть не лежать в одной плоскости. Тогда прямая, пересекающая одну из них, может не пересекать другую.

Ответ: Не верно.

1. Рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\). По определению, они лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть \(a \parallel b\) и \(a \cap b = \emptyset\).

2. Пусть есть прямая \(c\), которая пересекает прямую \(a\) в точке \(A\), то есть \(c \cap a = \{A\}\).

3. Так как \(a\) и \(b\) параллельны и лежат в одной плоскости, то прямая \(c\), проходящая через точку \(A\) и не параллельная \(b\), обязательно пересечёт \(b\) в какой-то точке \(B\).

4. Следовательно, если прямая \(c\) пересекает одну из двух параллельных прямых \(a\), то она пересекает и другую прямую \(b\).

5. Теперь рассмотрим случай в пространстве. Две прямые \(a\) и \(b\) могут быть параллельны, но при этом не лежать в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

6. Если \(a\) и \(b\) скрещиваются, то существует прямая \(c\), которая пересекает \(a\), но при этом не пересекает \(b\), потому что они находятся в разных плоскостях.

7. Это означает, что утверждение «если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую» не всегда верно в пространстве.

8. Таким образом, на плоскости утверждение верно, а в пространстве — нет.

9. Итог: утверждение справедливо только для параллельных прямых, лежащих в одной плоскости.

10. Ответ: утверждение не всегда верно.