Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Основанием пирамиды \( MABCD \) является квадрат \( ABCD \), сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние между точками пересечения медиан граней \( AMD \) и \( DMC \).
Пусть \( M \) — вершина пирамиды, \( ABCD \) — квадрат со стороной 12 см.
Координаты:
\( A(0,0,0) \), \( B(12,0,0) \), \( C(12,12,0) \), \( D(0,12,0) \), \( M(6,6,h) \).
Центроид треугольника \( AMD \):
\( G_1 = \left(\frac{0+6+0}{3}, \frac{0+6+12}{3}, \frac{0+h+0}{3}\right) = (2,6,\frac{h}{3}) \).
Центроид треугольника \( DMC \):
\( G_2 = \left(\frac{0+6+12}{3}, \frac{12+6+12}{3}, \frac{0+h+0}{3}\right) = (6,10,\frac{h}{3}) \).
Расстояние:
\( d = \sqrt{(6-2)^2 + (10-6)^2 + \left(\frac{h}{3} — \frac{h}{3}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \).
Ответ: \( 4\sqrt{2} \) см.
1) Пусть \( ABCD \) — квадрат со стороной 12 см. Тогда длина стороны \( AB = 12 \) см.
2) Координаты точек основания: \( A(0,0,0) \), \( B(12,0,0) \), \( C(12,12,0) \), \( D(0,12,0) \).
3) Точка \( M \) — вершина пирамиды, расположена над центром квадрата. Координаты центра квадрата: \( O = \left(\frac{0+12+12+0}{4}, \frac{0+0+12+12}{4}, 0\right) = (6,6,0) \). Пусть высота пирамиды \( h \), тогда \( M = (6,6,h) \).
4) Рассмотрим треугольник \( AMD \) с вершинами \( A(0,0,0) \), \( M(6,6,h) \), \( D(0,12,0) \).
5) Найдём координату точки пересечения медиан треугольника \( AMD \). Центроид треугольника — среднее арифметическое координат вершин: \( G_1 = \left(\frac{0+6+0}{3}, \frac{0+6+12}{3}, \frac{0+h+0}{3}\right) = \left(2,6,\frac{h}{3}\right) \).
6) Аналогично для треугольника \( DMC \) с вершинами \( D(0,12,0) \), \( M(6,6,h) \), \( C(12,12,0) \) центроид \( G_2 = \left(\frac{0+6+12}{3}, \frac{12+6+12}{3}, \frac{0+h+0}{3}\right) = \left(6,10,\frac{h}{3}\right) \).
7) Найдём расстояние между точками \( G_1 \) и \( G_2 \) по формуле расстояния в пространстве: \( d = \sqrt{(6-2)^2 + (10-6)^2 + \left(\frac{h}{3} — \frac{h}{3}\right)^2} \).
8) Вычисляем: \( d = \sqrt{4^2 + 4^2 + 0} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \).
9) Упростим корень: \( \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \).
10) Ответ: расстояние между точками пересечения медиан граней \( AMD \) и \( DMC \) равно \( 4\sqrt{2} \) см.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!