ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \( a \), принадлежащая плоскости \( \alpha \), параллельна прямой \( m \) – линии пересечения плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \) (рис. 4.21). Точки \( A \) и \( B \) принадлежат плоскости \( \beta \). Существуют ли на прямой \( a \) такие точки \( C \) и \( D \), что \( AC \perp BD \)?

Прямая \(a\) параллельна линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), значит \(a \parallel \beta\). Точки \(A\) и \(B\) лежат в \(\beta\), а точки \(C\) и \(D\) на \(a\). Тогда отрезки \(AC\) и \(BD\) лежат в разных плоскостях, и их можно расположить так, чтобы они были перпендикулярны. Значит такие точки \(C\) и \(D\) существуют. Ответ: не существует.

1. Прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\). По условию, прямая \(a\) параллельна прямой \(m\), которая является линией пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Значит, \(a \parallel m\).

2. Прямая \(m\) — это линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), следовательно, она принадлежит обеим плоскостям. Поскольку \(a \parallel m\), то прямая \(a\) параллельна плоскости \(\beta\).

3. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\beta\), значит отрезок \(AB\) лежит в плоскости \(\beta\).

4. Точки \(C\) и \(D\) лежат на прямой \(a\), которая параллельна плоскости \(\beta\). Следовательно, отрезки \(AC\) и \(BD\) соединяют точки из разных плоскостей: \(A, B \in \beta\), а \(C, D \in \alpha\).

5. Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\). Вектор \(\overrightarrow{AC}\) направлен из точки \(A \in \beta\) в точку \(C \in a\), а вектор \(\overrightarrow{BD}\) — из точки \(B \in \beta\) в точку \(D \in a\).

6. Так как \(a\) параллельна линии пересечения \(\alpha\) и \(\beta\), векторы, направленные вдоль \(a\), лежат в плоскости \(\alpha\) и параллельны плоскости \(\beta\).

7. Можно выбрать точки \(C\) и \(D\) на прямой \(a\) так, чтобы векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) были перпендикулярны. Для этого достаточно подобрать координаты точек \(C\) и \(D\) на \(a\), чтобы скалярное произведение \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\).

8. Таким образом, существует бесконечно много пар точек \(C\) и \(D\) на прямой \(a\), для которых \(AC \perp BD\).

9. Значит, ответ на вопрос: да, такие точки \(C\) и \(D\) существуют.

10. Итог: на прямой \(a\) можно найти точки \(C\) и \(D\), что отрезки \(AC\) и \(BD\) будут перпендикулярны.