ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На грани \( ADC \) тетраэдра \( DABC \) отметили точку \( M \) (рис. 4.22). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку \( M \) параллельно прямой \( BD \), пересекает плоскость \( ABC \).

Пусть \(M\) — точка на грани \(ADC\). Через \(M\) проведём прямую, параллельную \(BD\). Эта прямая пересечёт плоскость \(ABC\) в точке \(K\).

Так как прямая \(MK \parallel BD\), то векторы \(\vec{MK}\) и \(\vec{BD}\) сонаправлены. Значит, \(K\) лежит на плоскости \(ABC\), и прямая \(MK\) — искомая.

Ответ: точка \(K\) — пересечение прямой, проходящей через \(M\) и параллельной \(BD\), с плоскостью \(ABC\).

1. Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) и точку \(M\), лежащую на грани \(ADC\).

2. Нам нужно построить прямую, проходящую через точку \(M\) и параллельную прямой \(BD\).

3. Для этого найдём вектор \(\vec{BD}\), который задаёт направление искомой прямой.

4. Через точку \(M\) проведём прямую \(l\), направленную так же, как вектор \(\vec{BD}\), то есть \(l \parallel BD\).

5. Теперь найдём точку пересечения этой прямой \(l\) с плоскостью \(ABC\).

6. Плоскость \(ABC\) задаётся точками \(A\), \(B\) и \(C\). Можно записать уравнение плоскости через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).

7. Пусть точка \(K\) лежит на прямой \(l\), тогда её координаты можно записать как \( \vec{K} = \vec{M} + t \cdot \vec{BD} \), где \(t\) — параметр.

8. Подставляем координаты точки \(K\) в уравнение плоскости \(ABC\) и находим значение параметра \(t\).

9. Полученное значение \(t\) даёт координаты точки \(K\), которая является точкой пересечения прямой \(l\) с плоскостью \(ABC\).

10. Таким образом, точка \(K\) — искомая точка пересечения прямой, проходящей через \(M\) и параллельной \(BD\), с плоскостью \(ABC\).