ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На грани \( ADD_1 \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) отметили точку \( K \) (рис. 4.23). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку \( K \) параллельно прямой \( DB \), пересекает плоскость \( ABB_1 \).

Пусть \( A = (0,0,0) \), \( B = (a,0,0) \), \( C = (a,a,0) \), \( D = (0,a,0) \), тогда \( B_1 = (a,0,a) \), \( D_1 = (0,a,a) \).

Точка \( K \) лежит на ребре \( AD_1 \), значит \( K = (0, t a, t a) \), где \( 0 \le t \le 1 \).

Вектор \( \overrightarrow{DB} = B — D = (a, -a, 0) \).

Прямая через \( K \) параллельна \( DB \):
\( X = 0 + \lambda a = \lambda a \),
\( Y = t a — \lambda a = a(t — \lambda) \),
\( Z = t a + 0 = t a \).

Плоскость \( ABB_1 \) задаётся точками \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( B_1(a,0,a) \).

Вектор \( \overrightarrow{AB} = (a,0,0) \), вектор \( \overrightarrow{AB_1} = (a,0,a) \).

Нормаль к плоскости \( ABB_1 \) равна векторному произведению:
\( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB_1} = (0, -a^2, 0) \).

Уравнение плоскости:
\( 0(x — 0) — a^2 (y — 0) + 0(z — 0) = 0 \Rightarrow y = 0 \).

Подставляем прямую в уравнение плоскости \( y=0 \):
\( a (t — \lambda) = 0 \Rightarrow \lambda = t \).

Точка пересечения:
\( X = \lambda a = t a \),
\( Y = 0 \),
\( Z = t a \).

Ответ: точка пересечения \( (t a, 0, t a) \).

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с длиной ребра \( a \). Зададим координаты вершин: \( A = (0,0,0) \), \( B = (a,0,0) \), \( C = (a,a,0) \), \( D = (0,a,0) \), \( A_1 = (0,0,a) \), \( B_1 = (a,0,a) \), \( C_1 = (a,a,a) \), \( D_1 = (0,a,a) \).

2. Точка \( K \) лежит на ребре \( AD_1 \), то есть на отрезке между \( A(0,0,0) \) и \( D_1(0,a,a) \). Значит координаты \( K \) можно записать как \( K = (0, t a, t a) \), где \( t \) — параметр, \( 0 \le t \le 1 \).

3. Найдём вектор направления прямой \( DB \). Точка \( D = (0,a,0) \), точка \( B = (a,0,0) \), тогда вектор \( \overrightarrow{DB} = B — D = (a, -a, 0) \).

4. Прямая, проходящая через точку \( K \) и параллельная \( DB \), задаётся уравнениями:
\( x = 0 + \lambda a = \lambda a \),
\( y = t a + \lambda (-a) = a(t — \lambda) \),
\( z = t a + \lambda \cdot 0 = t a \),
где \( \lambda \) — параметр прямой.

5. Рассмотрим плоскость \( ABB_1 \), заданную точками \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( B_1(a,0,a) \).

6. Найдём векторы, лежащие в плоскости \( ABB_1 \):
\( \overrightarrow{AB} = B — A = (a,0,0) \),
\( \overrightarrow{AB_1} = B_1 — A = (a,0,a) \).

7. Вектор нормали к плоскости \( ABB_1 \) равен векторному произведению:
\( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = (0, -a^2, 0) \).

8. Уравнение плоскости \( ABB_1 \) имеет вид:
\( 0(x — 0) — a^2(y — 0) + 0(z — 0) = 0 \), откуда следует \( y = 0 \).

9. Подставим параметры прямой в уравнение плоскости:
\( y = a(t — \lambda) = 0 \Rightarrow t — \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = t \).

10. Найдём координаты точки пересечения:
\( x = \lambda a = t a \),
\( y = 0 \),
\( z = t a \).
Ответ: точка пересечения прямой с плоскостью \( ABB_1 \) имеет координаты \( (t a, 0, t a) \).