ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \( AD \), \( BD \) и \( BC \) тетраэдра \( DABC \) отметили соответственно точки \( M \), \( N \) и \( K \). Постройте прямую, проходящую через точку \( K \) и пересекающую прямые \( AN \) и \( CM \).

Пусть прямая, проходящая через точку \( K \), пересекает прямые \( AN \) и \( CM \) в точках \( P \) и \( Q \) соответственно.

Точки \( M \), \( N \), \( K \) лежат на рёбрах \( AD \), \( BD \), \( BC \), значит:

\( M \in AD \), \( N \in BD \), \( K \in BC \).

Прямая \( AN \) соединяет точки \( A \) и \( N \), а прямая \( CM \) — точки \( C \) и \( M \).

Построим прямую через \( K \), пересекающую \( AN \) и \( CM \).

Для этого соединяем точки \( K \) и \( N \) и продлеваем до пересечения с \( AN \), затем соединяем \( K \) и \( M \) и продлеваем до пересечения с \( CM \).

Таким образом, искомая прямая — это прямая, проходящая через \( K \) и точку пересечения прямых \( AN \) и \( CM \).

1. Рассмотрим тетраэдр \( DABC \). На рёбрах \( AD \), \( BD \), \( BC \) отмечены точки \( M \), \( N \), \( K \) соответственно, то есть \( M \in AD \), \( N \in BD \), \( K \in BC \).

2. Нужно построить прямую, проходящую через точку \( K \) и пересекающую прямые \( AN \) и \( CM \).

3. Прямая \( AN \) соединяет точку \( A \) с точкой \( N \), а прямая \( CM \) соединяет точку \( C \) с точкой \( M \).

4. Обозначим точки пересечения искомой прямой с прямыми \( AN \) и \( CM \) как \( P \) и \( Q \) соответственно.

5. Тогда искомая прямая проходит через точки \( K \), \( P \) и \( Q \).

6. Чтобы найти точки \( P \) и \( Q \), заметим, что они лежат на прямых \( AN \) и \( CM \), а также на одной прямой с точкой \( K \).

7. Значит точки \( K \), \( P \), \( Q \) коллинеарны, то есть векторы \( \overrightarrow{KP} \) и \( \overrightarrow{KQ} \) сонаправлены.

8. Так как \( P \in AN \), то \( P = A + \lambda (N — A) \) для некоторого параметра \( \lambda \).

9. Аналогично, так как \( Q \in CM \), то \( Q = C + \mu (M — C) \) для некоторого параметра \( \mu \).

10. Искомая прямая — это множество точек вида \( K + t \overrightarrow{PQ} \), где \( t \in \mathbb{R} \), а \( \overrightarrow{PQ} = Q — P \). Эта прямая проходит через \( K \) и пересекает \( AN \) и \( CM \) в точках \( P \) и \( Q \).