ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике \( ABC \) проведены высоты \( AM \) и \( CK \). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \( MBK \), если \( AC = \frac{4}{3} \) см и \( \angle ABC = 30^\circ \).

Найдем \( KM \) из подобия треугольников: \( \cos B = \frac{KM}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( KM = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \) см.

Радиус описанной окружности треугольника \( MBK \) равен \( R = \frac{KM}{2 \sin B} = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6 \) см.

1. В треугольнике \( ABC \) проведены высоты \( AM \) и \( CK \). По условию \( AC = 4,5 \) см, а угол \( \angle ABC = 30^\circ \).

2. Рассмотрим треугольник \( MBK \). Он подобен треугольнику \( ABC \) по двум углам, так как высоты образуют прямые углы и общий угол при вершине \( B \).

3. Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон. В частности, \( \cos \angle B = \frac{KM}{AC} \).

4. Подставляем известные значения: \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( AC = 4,5 \) см.

5. Выражаем \( KM \): \( KM = AC \cdot \cos 30^\circ = 4,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \) см.

6. Теперь найдем радиус описанной окружности треугольника \( MBK \). Формула радиуса описанной окружности: \( R = \frac{a}{2 \sin A} \), где \( a \) — сторона, а \( A \) — угол, противолежащий стороне \( a \).

7. В треугольнике \( MBK \) сторона \( KM = 6 \) см, а угол \( \angle B = 30^\circ \).

8. Подставляем в формулу: \( R = \frac{6}{2 \sin 30^\circ} \).

9. Значение \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), значит \( R = \frac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6 \) см.

10. Получаем, что радиус описанной окружности треугольника \( MBK \) равен 6 см.