ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \( E \) – середина медианы \( BM \) треугольника \( ABC \). Прямая \( AE \) пересекает сторону \( BC \) в точке \( K \). Найдите отношение, в котором точка \( K \) делит отрезок \( BC \), считая от вершины \( B \).

Дано: \(BM\) — медиана, значит \(AM = MC\). Точка \(E\) — середина медианы \(BM\), значит \(BE = EM\).

Так как \(E\) — середина \(BM\), то треугольники \(ABE\) и \(ACE\) равновеликие по площади, значит линия \(AE\) делит сторону \(BC\) в отношении \(BK : KC = \frac{1}{2}\).

Ответ: \( \frac{BK}{KC} = \frac{1}{2} \).

1. Пусть \(M\) — середина стороны \(AC\), тогда \(AM = MC\).

2. Отрезок \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), значит точка \(M\) делит сторону \(AC\) пополам.

3. Точка \(E\) — середина медианы \(BM\), значит \(BE = EM\).

4. Рассмотрим треугольник \(ABM\). В нем точка \(E\) — середина стороны \(BM\).

5. Проведем отрезок \(AE\). Он соединяет вершину \(A\) с серединой отрезка \(BM\).

6. По теореме о средней линии треугольника, отрезок, соединяющий вершину и середину медианы, пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\), делящей \(BC\) в определённом отношении.

7. Обозначим отношение \(BK : KC = x\).

8. Используя координатный метод или свойства подобия треугольников, находим, что \(x = \frac{1}{2}\).

9. Это значит, что точка \(K\) делит сторону \(BC\) в отношении двух к одному, ближе к \(B\).

10. Следовательно, \(\frac{BK}{KC} = \frac{1}{2}\).