Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 4.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) (рис. 4.16). Докажите, что прямые \( AA_1 \) и \( BC \) – скрещивающиеся.
Прямые \( AA_1 \) и \( BC \) лежат в разных плоскостях: \( AA_1 \) — в плоскости \( ABB_1A_1 \), а \( BC \) — в плоскости \( ABCD \). Они не пересекаются и не параллельны, значит, они скрещиваются.
1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). В нем вершины \( A, B, C, D \) лежат в основании, а вершины \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) — в верхнем основании.
2. Прямая \( AA_1 \) — это ребро куба, соединяющее нижнюю вершину \( A \) с верхней вершиной \( A_1 \). Эта прямая вертикальна и лежит в плоскости \( ABB_1A_1 \).
3. Прямая \( BC \) — ребро основания куба, лежащее в плоскости основания \( ABCD \). Она горизонтальна.
4. Плоскость основания \( ABCD \) и плоскость боковой грани \( ABB_1A_1 \) — разные плоскости, так как одна горизонтальна, а другая вертикальна.
5. Прямая \( AA_1 \) не может пересекаться с прямой \( BC \), потому что они лежат в разных плоскостях.
6. Прямые \( AA_1 \) и \( BC \) не параллельны, так как одна вертикальна, а другая горизонтальна.
7. Так как прямые не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.
8. Таким образом, прямые \( AA_1 \) и \( BC \) — скрещивающиеся.
9. Это соответствует определению скрещивающихся прямых: они не пересекаются и не параллельны, и не лежат в одной плоскости.
10. Следовательно, доказано, что прямые \( AA_1 \) и \( BC \) — скрещивающиеся.
